두 확률 측도가 서로 같아지는 조건
정리
공간 $S$ 가 거리 공간 $( S , \rho)$ 이면서 가측 공간 $(S,\mathcal{B}(S))$ 이라고 하자.
$\mathcal{O}$ 는 모든 열린 집합들의 집합, $\mathcal{C}$ 는 모든 닫힌 집합들의 집합이고 $P$ 와 $Q$ 는 $(S,\mathcal{B}(S))$ 에서 정의된 확률 측도다.
- [1]: 모든 열린 집합 $O \in \mathcal{O} \subset S$ 에 대해 $P(O) = Q(O)$ 면 $P=Q$ 다. 다른 표현으로, $\mathcal{O}$ 는 세퍼레이팅 클래스다.
- [2]: 모든 닫힌 집합 $C \in \mathcal{C} \subset S$ 에 대해 $P(C) = Q(C)$ 면 $P=Q$ 다. 다른 표현으로, $\mathcal{C}$ 는 세퍼레이팅 클래스다.
- [3]: 모든 $f \in C_{b}(S)$ 에 대해 $Pf = Qf$ 면 모든 $A \in \mathcal{B}(S)$ 에 대해 $P(A)=Q(A)$, 즉 $P=Q$ 다.
- 모든 $A \in \mathcal{B}(S)$ 에 대해 $P(A)=Q(A)$ 면 $P=Q$ 라고 한다.
- $C_{b}(S)$ 는 다음과 같이 $S$ 에서 정의되는 유계 연속 함수들의 집합을 나타낸다. $$ C_{b}(S) := \left\{ f:S \to \mathbb{R} \mid f\text{ is bounded and continuous} \right\} $$
- $\displaystyle \int_{S} f dP$ 는 간단하게 $\displaystyle Pf := \int_{S} f dP$ 와 같이 나타낸다.
노테이션
이와 더불어 논증을 위해 다음과 같은 몇가지 노테이션을 소개한다:
- 원소 $x \in S$ 와 부분집합 $A \subset S$, 그리고 $\delta >0$ 에 대해 $$ \rho (x, A) := \inf \left\{ \rho (x,a) : a \in A \right\} \\ A^{\delta} := \left\{ x \in S : \rho (x, A) < \delta \right\} $$
- 어떤 픽스된 $F \subset S$ 에 대해 $$ \begin{align*} f_{\delta}(x) :=& \left( 1 - \rho (x, F) / \delta \right)^{+} \\ =& \begin{cases} 1 &, x \in F \\ 1 - \rho (x,F)/\delta &, x \notin F \land x \in F^{\delta} \\ 0 &, x \notin F^{\delta} \end{cases} \end{align*} $$
식은 복잡해보이지만 그림으로 보면 전혀 어려울 게 없다. $\rho (x,A)$ 는 그냥 한 점 $x \in S$ 와 집합 $A \subset S$ 의 최단거리를 나타내는 것이다.
$A^{\delta}$ 는 그냥 $A$ 보다 $\delta$ 만큼 커진 오픈 셋이다.
그나마 제일 어려운 게 $f_{\delta}(x)$ 인데, 아래 그림과 같이 함수값이 $F$ 에서만 $1$ 이고 $\delta$ 만큼 가까운 곳에서는 $0$ 과 $1$ 사이의 연속적인 값, 그 밖에서는 $0$ 인 함수다. 모양을 보면 이 함수가 만들어진 이유를 짐작할 수 있다. 우선 바운디드고 균등연속이기 때문에 $f_{\delta} \in C_{b}(S)$ 일 수 밖에 없다. 또한 $\delta \to 0$ 일 때 $f_{\delta} (x) \to 1_{F}$ 와 같이 다루기 쉬운 단순 함수로 수렴해준다는 것은 좋은 일이다.
증명
전략[1], [2]: $\mathcal{O}$ 와 $\mathcal{C}$ 는 각각 오픈 셋과 클로즈드 셋을 모두 모아놓은 집합이므로 파이 시스템임을 보이는 것은 아주 쉽다. 그리고 다음과 같은 성질을 사용해 세퍼레이팅 클래스가 됨을 보이면 된다.
세퍼레이팅 클래스가 되는 조건과 파이 시스템: $\mathcal{C}$ 에 대해 $\sigma (\mathcal{C}) = \mathcal{B}(S)$ 고 모든 $A \in \mathcal{C}$ 에 대해 $P(A) = Q(A)$ 면 $\mathcal{C}$ 는 세퍼레이팅 클래스다.
[1]
오픈 셋끼리의 교집합은 오픈 셋이므로 $A, B \in \mathcal{O}$ 이면 $A \cap B \in \mathcal{O}$, 다시 말해 $\mathcal{O}$ 는 파이 시스템이다. 보렐 시그마 필드 $\mathcal{B}(S)$ 는 거리 공간 $(S, \rho)$ 의 모든 오픈 셋, 그러니까 $\mathcal{O}$ 의 모든 원소를 포함하는 가장 작은 시그마 필드이므로 $\sigma (\mathcal{O}) = \mathcal{B} (S)$ 다. 그러면 가정에서 모든 열린 집합 $O \in \mathcal{O}$ 에 대해 $P(O) = Q(O)$ 라면 $\mathcal{O}$ 는 세퍼레이팅 클래스가 된다.
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[2]
클로즈드 셋끼리의 교집합은 클로즈드 셋이므로 $A, B \in \mathcal{C}$ 이면 $A \cap B \in \mathcal{C}$, 다시 말해 $\mathcal{C}$ 는 파이 시스템이다. 클로즈드 셋의 정의와 $C \in \mathcal{C}$ 면 $S \setminus C \in \mathcal{O}$ 고, 시그마 필드의 정의에 따라 $C \in \mathcal{B}(S)$ 이어야한다. 즉 $\sigma (\mathcal{O}) = \sigma (\mathcal{C})= \mathcal{B}(S)$ 인데, 그러면 가정에서 모든 닫힌 집합 $C \in \mathcal{C}$ 에 대해 $P(C) = Q(C)$ 라면 $\mathcal{C}$ 는 세퍼레이팅 클래스가 된다.
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[3]
$$ f_{\varepsilon}(x) := \left( 1 - \rho (x,F) / \varepsilon \right)^{+} $$ 클로즈드 셋 $F \in \mathcal{C}$ 와 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $f_{\varepsilon} : S \to \mathbb{R}$ 를 위와 같이 정의하자. 그러면 $f_{\varepsilon}$ 는 다음 두가지를 만족한다. $$ f_{\varepsilon} \in C_{b}(S) \\ 1_{F}(x) \le f_{\varepsilon}(x) \le 1_{F^{\varepsilon}} (x) $$ 가정에서 모든 $f \in C_{b}(S)$ 에 대해 $P f = Q f$ 라면 $\displaystyle \int_{\Omega} f_{\varepsilon} dP = \int_{\Omega} f_{\varepsilon} dQ$ 이기도 하므로 $$ \begin{align*} P(F) =& \int_{\Omega} 1_{F} dP \\ \le & \int_{\Omega} f_{\varepsilon} dP \\ =& \int_{\Omega} f_{\varepsilon} dQ \\ \le & \int_{\Omega} 1_{F^{\varepsilon}} dQ \\ =& Q(F^{\varepsilon}) \end{align*} $$ 정리하면 $P(F) \le Q ( F^{\varepsilon})$ 이다. $F$ 는 닫힌 집합이므로 $\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0} F^{\varepsilon} = F$ 고, 방금 얻은 식의 양변에 $\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0}$ 를 취하면 측도의 연속성에 따라 $$ \begin{align*} P(F) =& \lim_{\varepsilon \to 0} P(F) \\ \le & \lim_{\varepsilon \to 0} Q (F^{\varepsilon}) \\ =& Q \left( \lim_{\varepsilon \to 0} F^{\varepsilon} \right) \\ =& Q(F) \end{align*} $$ 정리하면 $P(F) \le Q(F)$ 고, 같은 방법으로 $Q(F) \le P(F)$ 임을 보일 수 있다. 그러면 닫힌 집합 $F$ 에 대해서 $P(F) = Q(F)$ 이고, [2]에 따라 모든 $A \in \mathcal{B}(S)$ 에 대해 $P(A) = Q(A)$ 가 성립한다.
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