크기가 일정한 벡터값 함수는 도함수와 직교한다

정리¹

벡터함수 $\mathbf{r} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$에 대해서, $|\mathbf{r}(t)| = c$이면 다음이 성립한다. ($c$는 상수)

$$\mathbf{r}(t) \perp \mathbf{r}^{\prime}(t) \quad \forall t$$

설명

일정한 반지름을 갖고 등속 원운동을 하는 경우를 예로 들 수 있다. 이 때 속도벡터와 가속도벡터는 항상 수직을 이룬다.

증명

내적의 성질에 의해,

$$\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = | \mathbf{r} |^{2} = c^{2}$$

양변을 $t$로 미분하면 다음을 얻는다.

$$2 \mathbf{r} \cdot \mathbf{r}^{\prime} = 0 \implies \mathbf{r} \cdot \mathbf{r}^{\prime} = 0$$

따라서 두 벡터는 직교한다.

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