동역학에서 리미트사이클의 쌍곡성
정의
유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$ 와 오픈 셋 $U \subset \mathbb{R}^{n}$ 에서 연속인 함수 $f : U \to \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$ 이 시스템의 리미트 사이클 $L_{0}$ 이 가로지르는 $\left( n-1 \right)$차원 곡면 $\Sigma$ 에서 정의된 푸앙카레 맵을 $P : \Sigma \to \Sigma$ 이라 두고, $L_{0}$ 과 $\Sigma$ 의 교집합에 있는 점 $\xi_{0}$ 가 맵 $P$ 의 고정점, 즉 $P \left( \xi_{0} \right) = \xi_{0}$ 을 만족시킨다고 하자.
- $\xi_{0}$ 가 $P$ 의 하이퍼볼릭 고정점이면 리미트사이클 $L_{0}$ 을 하이퍼볼릭hyperbolic하다고 부른다.
- $\xi_{0}$ 가 $P$ 의 새들이면 하이퍼볼릭 사이클 $L_{0}$ 을 새들 사이클saddle cycle이라 한다.
- $\Sigma$ 의 모든 점에서 $f(x) \cdot n (x) \ne 0$ 이면 $\Sigma$ 가 벡터필드를 가로지른다transverse고 한다.
설명
연속적인 시스템에서 관심의 대상인 사이클은 무한히 많은 점으로 이루어져 있으므로 직접적으로 파악하기가 곤란하지만, 푸앙카레 맵을 통해 일단 한 차원 아래로 끌어내리면 곡선의 정보가 점으로 요약되므로 고정점의 쌍곡성에 대한 논의를 그대로 적용시킬 수 있다. 이러한 정의의 장점은 아무래도 안정성이라고 하는 걸 생각할 때 훨씬 직관적으로 받아들일 수 있다는 점이다. 복잡하게 불변 집합이 안정적이다, 불안정적이다하는 것보다는 그냥 점의 움직임을 상상하는 것으로 충분하기 때문이다.