📂측도론

비탈리 수렴 정리

정리 ¹

측도 공간 $( X , \mathcal{E} , \mu)$ 가 주어져 있다고 하자.

$1 \le p < \infty$ 라고 할 때 함수의 시퀀스 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L}^{p}$ 가 $f$ 로 $\mathcal{L}_{p}$ 수렴하는 것은 다음 세 가지를 모두 만족하는 것과 필요충분조건이다.

• (i): $\left\{ f_{n} \right\}$ 은 $f$ 로 측도 수렴한다.
• (ii): $\left\{ | f_{n} |^{p} \right\}$ 은 균등적분가능하다.
• (iii): 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$F \in \mathcal{E} \land F \cap E = \emptyset \implies \int_{F} | f_{n} |^{p} d \mu < \varepsilon^{p} \qquad \forall n \in \mathbb{N}$$ 를 만족하고 $\mu (E) < \infty$ 인 $E \in \mathcal{E}$ 가 존재한다.

설명

• (iii): 말이 좀 어려운데, $E$ 는 어떤 $\varepsilon>0$ 에 디펜드되어 $E = E_{\varepsilon}$ 와 같이 나타낼 수 있으면서 너무 크지는 않아 $\mu (E) < \infty$ 을 만족해야한다. 이만큼 작은 $E_{\varepsilon}$ 와 겹치지 않을 정도로 커다란 $F$ 에 대해서 $\displaystyle \int_{F} | f_{n} |^{p} d \mu < \varepsilon^{p}$ 를 만족하게끔 $E_{\varepsilon}$ 이 존재해야하는 것이다.
  사실 부등식만 만족시킬 수 있다면 $E$ 는 얼마든지 커져도 상관 없다. 그래서 이 조건은 만약 측도 $\mu$ 가 유한 측도면 자명하게 성립한다. 전체공간 $X$ 에 대해 $\mu (X) < \infty$ 이므로 $E_{\varepsilon} = X$ 로 잡으면 겹치는 부분이 없는 가측 집합은 $\emptyset \in \mathcal{E}$ 하나 뿐이고, $\displaystyle \int_{\emptyset} | f_{n} |^{p} d \mu = 0$ 이므로 굳이 조건을 체크할 필요가 없어진다.

유한 측도의 대표적인 예로써 확률 $P$ 가 있다. 확률론에서 비탈리 수렴 정리는 균등적분가능이라는 조건이 더함으로써 확률 수렴을 $\mathcal{L}_{p}$ 까지 만들어주는 정리가 된다.