📂집합론

집합의 기수

정의 ¹

임의의 집합 $X$ 에 대해 다음의 성질들을 갖는 $\operatorname{card} X$ 를 $X$ 의 기수^cardinality라고 정의한다.

• (i): $X = \emptyset \iff \operatorname{card} X = 0$
• (ii): $A \sim B \iff \operatorname{card} A = \operatorname{card} B$
• (iii): 어떤 자연수 $k$ 에 대해 $X \sim \left\{ 1 , 2, \cdots , k \right\}$ 면 $\operatorname{card} X = k$

특히, 유한집합의 기수를 유한기수라 하고 무한집합의 기수를 초한기수라고 한다.

1. 두 집합 $A$, $B$ 에 대해 $A$ 가 $B$ 의 어떤 부분집합과는 대등하지만 $B$ 는 $A$ 의 어떤 부분집합과도 대등하지 않으면 $\operatorname{card} A$ 가 $\operatorname{card} B$ 보다 작다고 하고 다음과 같이 나타낸다. $$ \operatorname{card} A < \operatorname{card} B $$
2. 서로소인 두 집합 $A$, $B$ 이 각각 기수 $a = \operatorname{card} A$, $b =\operatorname{card} B$를 가질 때, 그 합집합의 기수를 $a$, $b$ 의 (기수) 합이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$ \operatorname{card} \left( A \cup B \right):= a+b $$
3. 두 집합 $A$, $B$ 이 각각 기수 $a = \operatorname{card} A$, $b =\operatorname{card} B$를 가질 때, 그 데카르트 곱의 기수를 $a$, $b$ 의 (기수) 곱이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$ \operatorname{card} \left( A \times B \right):= ab $$
4. 두 집합 $A$, $B$ 이 각각 기수 $a = \operatorname{card} A$, $b =\operatorname{card} B$를 가질 때, 정의역 $A$ 와 공역 $B$ 를 갖는 모든 함수들의 집합 $B^{A}$ 의 기수를 $b$ 의 $a$ (기수) 승이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$ \operatorname{card} \left( B^{A} \right):= b^{a} $$

설명

기수는 ‘집합의 크기’를 추상화한 것으로, 무한집합에 대해서도 수학적으로 의미 있는 비교를 하기 위해 도입되었다고 보아도 무방하다. 집합의 크기에서 나온 개념이므로 집합론이 핵심이 아니거나 편하게 쓸 때는 $|X| := \operatorname{card} X$ 와 같이 간략하게 나타내기도 한다.

기수는 다음과 같이 대수적으로 자연수와 비슷한 성질들을 가진다.

기초 성질 ¹

$x,y,z$ 가 기수라고 하자.

• [1]: $$|A| \le |B| \land |A| \ge |B| \implies |A| = |B|$$
• [2]: $$x + y = y+x \\ (x+y) + z = x + (y + z)$$
• [3]: $$xy = yx \\ (xy)z = x(yz) \\ x ( y+z) = xy + xz$$
• [4]: $$z^{x} z^{y} = z^{x+y} \\ \left( z^{y} \right)^{x} = z^{yx}$$