logo

Lp 수렴 📂르벡공간

Lp 수렴

정의 1

함수의 시퀀스 {fn}nN\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 이 어떤 함수 ff 에 대해 다음을 만족하면 {fn}\left\{ f_{n} \right\}ffLpL^{p} 수렴한다고 말한다.

limnfnfp=0 \lim_{n \to \infty} \left\| f_{n} - f \right\|_{p} = 0

시퀀스 {fn}nN\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 이 다음을 만족하면 LpL^{p} 에서 코시cauchy in LpL^{p}라 한다.

limn,mfnfmp=0 \lim_{n, m \to \infty} \left\| f_{n} - f_{m} \right\|_{p} = 0

설명

물론 p\left\| \cdot \right\|_{p}pp-놈으로써 다음과 같이 정의된다.

fp:=(Efpdm)1p \left\| f \right\|_{p} := \left( \int_{E} | f |^{p} dm \right) ^{{{1} \over {p}}}

함수의 시퀀스가 LpL^{p} 수렴한다(converge in LpL^{p})는 말은 놈 센스에서 수렴함을 말한다. 르벡 공간의 성질에서 pqp \le q 일 때 fnf_{n}LqL^{q} 수렴하면 LpL^{p} 수렴함을 말할 수 있다.

같이보기


  1. Bartle. (1995). The Elements of Integration and Lebesgue Measure: p58. ↩︎