📂측도론

하디-리틀우드 맥시멀 함수

정의¹

$f \in L^1_{\mathrm{loc}}$라고 하자. 그러면 하디-리틀우드 맥시멀 함수 $Hf$를 아래와 같이 정의한다.

$$Hf (x) := \sup \limits_{r>0} A_{r} |f|(x) = \sup \limits_{r>0} \frac{1}{\mu \big( B(r,x) \big)}\int_{B(r,x)}|f(y)|dy$$

$A_{r}f(x)$는 $B_{r}(x)$위에서 $f$의 함숫값의 평균을 의미한다. $H$를 맥시멀 오퍼레이터^{maximal operator}라고 한다.

정리

• $Hf$는 르벡 가측 함수이다.
• $f \in L^1_{\mathrm{loc}}$이면 $A_{r}f(x)$는 $r>0$, $x \in \mathbb{R}^n$에 대해서 각각 연속이다.