📂측도론

맥시멀 보조정리

정리¹

$\mathcal{B}$를 $\mathbb{R}^n$에서의 오픈 볼들의 컬렉션이라고 하자. $U=\bigcup \limits_ { B\in \mathcal{B}} B$라고 하자. 그러면 어떤 상수 $c \lt m (U)$에 대해서, 아래의 조건을 만족하는 유한개의 서로소인 $B_{j} \in \mathcal{B}$가 존재한다.

$$ \dfrac{c}{3^{n}} \lt \sum \limits_{j=1}^{k} m(B_{j}) $$

이때 $m$은 $n$차원 르벡 측도이다.

설명

실제로 이 정리에 맥시벌 보조정리^{maximal lemma}라는 이름이 붙어있는 것은 아니고, 맥시멀 정리에서 보조정리로써 쓰이기 때문에 적당히 붙인 것이다.

측도의 값이 $m(U)$와 $c/3^{n}$사이인 유한집합 ${B_{j}}$가 반드시 존재함을 보장한다.

증명

우선 $c< m (K) \le m (U)$를 만족하는 컴팩트 집합 $K \subset U$가 존재한다². 그러면 컴팩트의 정의에 의해서 $K$의 서브 커버 $\left\{ A_{i} \right\}_{1}^l$가 존재한다. 이제 이 중에서 가장 큰³ 것을 $B_{1}$이라 하자. $B_{1}$과 서로소인 $A_{i}$ 중에서 가장 큰 것을 $B_2$라고 하자. 그리고 $B_{1}$, $B_2$와 서로소인 $A_{i}$ 중에서 가장 큰 것을 $B_{3}$라고 하자. 이런식으로 유한 컬렉션 $\left\{ B_{j} \right\}$를 구성할 수 있다.

$\left\{ B_{j} \right\}$에 속하지 못한 $A_{i}$에 대해서 $A_{i} \cap B_{j} \ne \varnothing$를 만족하는 $j$가 존재한다. 또한 그러한 $j$들 중에서 제일 작은 $j$에 대해서⁴, $A_{i}$의 반지름은 커봐야 $B_{j}$이다. 즉, $B_{j}$의 반지름보다 클 수 없다. 만약 그렇다면 $\left\{ B_{j}\right\}$를 구성할 때 $A_{i}$가 $B_{j}$의 이름을 가져갔을 것이다⁵.

이제 $B^{\ast}_{j}$를 $B_{j}$와 중심이 같으면서 반지름이 3배인 오픈 볼이라고 하자. 그러면 $A_{i}$는 $B_{j}$보다 반지름이 크지않고, $B_{j}$와의 겹치므로 반드시 $B^{\ast}_{j}$에 포함된다. 따라서 $K \subset \bigcup A_{j} \subset \bigcup B^{\ast}_{j}$이다.

$$ \begin{align*} c \lt m (K) & \lt m \left( \bigcup \nolimits_{1}^k B^{\ast}_{j}\right) \\ &= \sum \limits_{1}^{k} m (B^{\ast}_{j}) \\ &= \sum \limits_{1}^{k} 3^{n} m (B_{j}) \end{align*} $$

$$ \implies \dfrac{c}{3^{n}} \lt \sum \limits_{j=1}^{k} m(B_{j}) $$

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정의

모든 유계인 가측 집합 $K \subset \mathbb{R}^n$에 대해서,

$$ \int_{K} |f(x)|dx<\infty $$

를 만족하는 함수 $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}$를 (르벡 측도에 대하여) 국소 적분가능하다^{locally integrable}고 말하고, 국소 적분가능한 함수들의 집합을 $L^{1}_{\mathrm{loc}}$와 같이 표기한다.

$f \in L^1_{\mathrm{loc}}$, $ x\in \mathbb{R}^n$, $r>0$이라고 하자. 중심이 $x$이고 반지름이 $r$인 오픈 볼을 $B(r,x)=B_{r}(x)$와 같이 나타내자. 그러면 $B_{r}(x)$위에서 $f$의 함숫값의 평균 $A_{r}f(x)$를 다음과 같이 정의한다.

$$ A_{r} f(x) := \frac{1}{m \big( B_{r}(x) \big)} \int _{B_{r}(x)}f(y)dy $$

$A_{r}$을 평균 작용소^{averaging operator}라고 한다.