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서브 마틴게일 수렴 정리 증명 📂확률론

서브 마틴게일 수렴 정리 증명

정리

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 와 서브 마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 주어져 있다고 하자.

sup⁡n∈NEXn+<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty 이라고 하면 XnX_{n} 은 어떤 확률 변수 X∞:Ω→RX_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R} 로 거의 확실히 수렴하고 EX∞<EX∞+<∞E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty

증명

전략: 리미트 슈프리멈과 리미트 인피멈의 성질을 사용한다. X∗:=lim sup⁡n∈NXnX∗:=lim inf⁡n∈NXn X^{\ast}:= \limsup_{n \in \mathbb{N}} X_{n} \\ X_{\ast}:= \liminf_{n \in \mathbb{N}} X_{n} 이라고 하면 (X∗>X∗)=⋃a<ba,b∈Q(X∗>b>a>X∗) \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) = \bigcup_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) 인데, 여기서 a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q} 이므로 (X∗>X∗)(X^{\ast} > X_{\ast}) 를 PP 로 카운터블하게 쪼갤 수 있게 된다. 그러면 X∗X^{\ast} 와 X∗X_{\ast} 사이의 모든 유리수 aa, bb 에 대해서 P(X∗>b>a>X∗)=0P \left( X^{\ast} >b >a> X_{\ast} \right) = 0 면 P(X∗>X∗)=0P \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) = 0 이 되고, 이는 거의 확실히 X∗=lim sup⁡n∈NXn≤lim inf⁡n∈NXn=X∗\displaystyle X^{\ast} = \limsup_{n \in \mathbb{N}} X_{n} \le \liminf_{n \in \mathbb{N}} X_{n} = X_{\ast} 이라는 뜻이므로 XnX_{n} 이 거의 확실히 X∞X_{\infty} 으로 수렴함을 보인 게 된다.

Part 1. P(X∗>b>a>X∗)≤P(β∞(a,b)=∞)P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right)

두 유리수 a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q} 가 이루는 폐구간 [a,b][a,b] 에 대해 NN 까지 업크로싱의 횟수를 βN(a,b)\beta_{N} (a,b) 라고 하고 그 극한을 β∞(a,b):=lim⁡N→∞βN(a,b)\displaystyle \beta_{\infty} (a,b):= \lim_{N \to \infty} \beta_{N} (a,b) 라고 두자. 만약 X∗>b>a>X∗X^{\ast} > b > a > X_{\ast} 면 XnX_{n} 은 무한히 많은 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 aa 아래로도 내려가고 bb 위로도 올라갔다는 의미가 된다. 따라서 β∞(a,b)=∞\beta_{\infty} (a,b) = \infty 이고, 이를 명제로 적으면 X∗>b>a>X∗  ⟹  β∞(a,b)=∞ X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \implies \beta_{\infty} (a,b) = \infty 집합 표현으로 바꿔 적으면 (X∗>b>a>X∗)⊂(β∞(a,b)=∞) \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \subset \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) 확률 PP 를 취하면 P(X∗>b>a>X∗)≤P(β∞(a,b)=∞) P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right)

Part 2. P(β∞(a,b)<∞)=1P \left( \beta_{\infty} (a,b) < \infty \right) = 1

P(∣X∣=∞)≠0  ⟹  E(∣X∣)=∞ P \left( |X| = \infty \right) \ne 0 \implies E \left( |X| \right) = \infty 이므로 대우법에 의해 거의 확실히 Eβ∞(a,b)<∞  ⟹  β∞(a,b)<∞ E \beta_{\infty} (a,b) < \infty \implies \beta_{\infty} (a,b) < \infty

업크로싱의 기대값 상한: EβN(a,b)≤EXN++∣a∣b−a\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}

단조 수렴 정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 이 fn↗ff_{n} \nearrow f 을 만족한다고 하자. 그러면 lim⁡n→∞∫Efndm=∫Efdm \lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm

가정에 따라 EβN(a,b)≤EXN++∣a∣b−a≤sup⁡N∈NEXN++∣a∣b−a<∞ E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }} \le {{ \sup_{N \in \mathbb{N}} E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }} < \infty 인데, βN(a,b)\beta_{N} (a,b) 의 정의에 따라 βN(a,b)↗β∞(a,b)\beta_{N} (a,b) \nearrow \beta_{\infty} (a,b) 이므로 단조 수렴 정리에 의해 ∞>lim⁡N→∞EβN(a,b)=Elim⁡N→∞βN(a,b)=Eβ∞(a,b) \begin{align*} \infty &>& \lim_{N \to \infty} E \beta_{N} (a,b) \\ =& E \lim_{N \to \infty} \beta_{N} (a,b) \\ =& E \beta_{\infty} (a,b) \end{align*} 정리하면 Eβ∞(a,b)<∞E \beta_{\infty} (a,b) < \infty 이므로 거의 확실히 β∞(a,b)<∞\beta_{\infty} (a,b) < \infty, 다시 말해 P(β∞(a,b)<∞)=1P \left( \beta_{\infty} (a,b) < \infty \right) = 1 이 성립한다.

Part 3. P(X∗=X∗)=1\displaystyle P \left( X^{\ast} = X_{\ast} \right) = 1

위의 Part 1~2에 따라 X∗>b>a>X∗X^{\ast} > b > a > X_{\ast} 인 모든 a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q} 에 대해 P(X∗>b>a>X∗)≤P(β∞(a,b)=∞)=0 P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) = 0 확률 PP 는 측도이므로 P(X∗>X∗)=P[⋃a<ba,b∈Q(X∗>b>a>X∗)]=∑a<ba,b∈QP(X∗>b>a>X∗)≤∑a<ba,b∈Q0=0 \begin{align*} P \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) =& P \left[ \bigcup_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \right] \\ =& \sum_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \\ \le & \sum_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} 0 \\ =& 0 \end{align*} 정리하면 P(X∗≤X∗)=1P \left( X^{\ast} \le X_{\ast} \right) = 1 이므로, XnX_{n} 의 극한 X∞X_{\infty} 는 거의 확실히 존재한다.

Part 4. EX∞<∞E X_{\infty} < \infty

절대값의 분해에 따라 ∣Xn∣=Xn++Xn−=2Xn+−Xn |X_{n}| = X_{n}^{+} + X_{n}^{-} = 2 X_{n}^{+} - X_{n} {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 는 서브 마틴게일이므로 EXn≥EX1E X_{n} \ge E X_{1} 이어서 E∣Xn∣=2EXn+−EXn≤2EXn+−EX1 E |X_{n}| = 2 E X_{n}^{+} - E X_{n} \le 2 E X_{n}^{+} - E X_{1} 가정에서 sup⁡n∈NEXn+<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty 이었으므로 sup⁡n∈NE∣Xn∣≤2sup⁡n∈NEXn+−EX1<∞ \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | \le 2 \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} - E X_{1} < \infty

파투의 보조정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 에 대해 ∫E(lim inf⁡n→∞fn)dm≤lim inf⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm

sup⁡n∈NE∣Xn∣<∞\sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty 이고 파투의 보조정리에 따라 ∞>sup⁡n∈NE∣Xn∣≥lim inf⁡n→∞E∣Xn∣=lim inf⁡n→∞∫Ω∣Xn∣dP=∫Ωlim inf⁡n→∞∣Xn∣dP=∫Ω∣X∞∣dP=E∣X∞∣ \begin{align*} \infty &>& \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | \\ \ge& \liminf_{n \to \infty} E | X_{n} | \\ =& \liminf_{n \to \infty} \int_{\Omega} | X_{n} | d P \\ =& \int_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} | X_{n} | d P \\ =& \int_{\Omega} | X_{\infty} | d P \\ =& E |X_{\infty}| \end{align*} 따라서 E∣X∞∣E | X_{\infty} | 역시 존재한다.

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따름정리

특히 증명과정의 Part 4. 에서 Xn<0X_{n} < 0 이면 Xn=Xn+−Xn−X_{n} = X_{n}^{+} - X_{n}^{-} 에서 Xn+=0X_{n}^{+} = 0 이므로 조건 sup⁡n∈NEXn+<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty 조차 필요없어짐을 알 수 있다.