📂기하학

수직선위의 내분점과 외분점 구하기

정리

수직선위의 점$A(x_{1})$와 점$B(x_{2})$를 $m:n$으로 내분하는 점$P(x)$의 좌표는 $\displaystyle x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}$이고, $m:n$으로 외분하는 점$Q(x)$의 좌표는 $\displaystyle x=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}$이다.

설명

내분점과 외분점의 공식을 잘 살펴보면 부호만 다르다는 것을 알 수 있다. 두 식을 외울필요 없이 내분점만 외우고 부호를 바꿔서 쓰면 된다. 사실 유도하는 과정이 쉽고 빠르기 때문에 굳이 외울 필요도 없다.

증명

내분점

$$\overline{AP}:\overline{PB} = m:n$$

$$\implies x-x_{1}:x_{2}-x=m:n$$

$$\implies mx_{2}-mx=nx-nx_{1}$$

$$\implies mx+nx=mx_{2}+nx_{1}$$

$$\implies (m+n)x=mx_{2}+nx_{1}$$

$$\implies x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}$$

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외분점

$$\overline{AQ}:\overline{BQ} = m:n$$

$$\implies x-x_{1}:x-x_{2}=m:n$$

$$\implies mx-mx_{2}=nx-nx_{1}$$

$$\implies mx-nx=mx_{2}-nx_{1}$$

$$\implies (m-n)x=mx_{2}-nx_{1}$$

$$\implies x=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}$$

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