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대수, 준측도 📂측도론

대수, 준측도

정의

집합 X≠∅X \ne \varnothing의 부분 집합들의 컬렉션 A\mathcal{A}가 아래의 세 조건을 만족할 때 집합 A\mathcal{A}를 XX 위의 집합들의 대수algebra of sets on X 라고 한다.

  • (a) E1E_{1}, ⋯\cdots, En∈AE_{n}\in \mathcal{A}이면, ⋃1nEn∈A\bigcup \nolimits_{1}^n E_{n} \in \mathcal{A}이다.

  • (b) E1E_{1}, ⋯\cdots, En∈AE_{n}\in \mathcal{A}이면, ⋂1nEn∈A\bigcap \nolimits_{1}^n E_{n} \in \mathcal{A}이다.

  • (c) E∈AE \in \mathcal{A}이면, Ec∈AE^c\in \mathcal{A}이다.

A\mathcal{A}를 XX 위의 대수라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 함수 μ0 : A→[0,∞]\mu_{0}\ :\ \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty]를 준측도premeasure라고 한다.

  • (d) μ0(∅)=0\mu_{0} (\varnothing)=0

  • (e) {Ej}1∞\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty가 A\mathcal{A}의 서로소인 집합들의 수열이고, ⋃1∞Ej∈A\bigcup \nolimits_{1} ^\infty E_{j} \in \mathcal{A}라고 하자. 그러면 μ0(⋃1∞Ej)=∑1∞μ0(E)j \mu_{0} \left( \bigcup \limits_{1}^\infty E_{j}\right)=\sum \limits _{1} ^\infty \mu_{0} (E)_{j}

설명

여기에서 조건 (a)유한합집합, (b)유한교집합를 가산합집합, 가산교집합으로 바꾸면 시그마-대수가 된다. 또한 ∅\varnothing, XX ∈A\in \mathcal{A}가 성립하는데 이는 위의 정의로 쉽게 확인할 수 있다. 혹은 이 조건 자체를 정의에 포함시켜서 말하기도 한다.

E∈AE \in \mathcal{A}이면 정의에 의해서 Ec∈AE^c \in \mathcal{A}이고 또한 E∩Ec=∅∈AE\cap E^c=\varnothing \in \mathcal{A}이다. 그러므로 ∅c=X∈A\varnothing^c=X\in \mathcal{A}

(e) 는 가산합집합이 다시 대수에 포함되어야하는 것은 아니지만, 만약 포함된다면 그에 한해서는 가산가법성을 가져야한다는 말이다.