대수, 준측도

정의

집합 $X \ne \varnothing$의 부분 집합들의 컬렉션 $\mathcal{A}$가 아래의 세 조건을 만족할 때 집합 $\mathcal{A}$를 $X$ 위의 집합들의 대수^{algebra of sets on X} 라고 한다.

(a) $E_{1}$, $\cdots$, $E_{n}\in \mathcal{A}$이면, $\bigcup \nolimits_{1}^n E_{n} \in \mathcal{A}$이다.
(b) $E_{1}$, $\cdots$, $E_{n}\in \mathcal{A}$이면, $\bigcap \nolimits_{1}^n E_{n} \in \mathcal{A}$이다.
(c) $E \in \mathcal{A}$이면, $E^c\in \mathcal{A}$이다.

$\mathcal{A}$를 $X$ 위의 대수라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 함수 $\mu_{0}\ :\ \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty]$를 준측도^premeasure라고 한다.

(d) $\mu_{0} (\varnothing)=0$
(e) $\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty$가 $\mathcal{A}$의 서로소인 집합들의 수열이고, $\bigcup \nolimits_{1} ^\infty E_{j} \in \mathcal{A}$라고 하자. 그러면 $$ \mu_{0} \left( \bigcup \limits_{1}^\infty E_{j}\right)=\sum \limits _{1} ^\infty \mu_{0} (E)_{j} $$

설명

여기에서 조건 (a)^{유한합집합}, (b)^{유한교집합}를 가산합집합, 가산교집합으로 바꾸면 시그마-대수가 된다. 또한 $\varnothing$, $X$ $\in \mathcal{A}$가 성립하는데 이는 위의 정의로 쉽게 확인할 수 있다. 혹은 이 조건 자체를 정의에 포함시켜서 말하기도 한다.

$E \in \mathcal{A}$이면 정의에 의해서 $E^c \in \mathcal{A}$이고 또한 $E\cap E^c=\varnothing \in \mathcal{A}$이다. 그러므로 $\varnothing^c=X\in \mathcal{A}$

(e) 는 가산합집합이 다시 대수에 포함되어야하는 것은 아니지만, 만약 포함된다면 그에 한해서는 가산가법성을 가져야한다는 말이다.