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절대 연속과 적분 가능한 함수의 관계 📂측도론

절대 연속과 적분 가능한 함수의 관계

빌드업

아래와 같은 명제를 생각해보자.

가측 공간 (X,E)(X,\mathcal{E})위의 측도 μ\mu와 μ−\mu-적분가능한 함수 ff가 주어졌다고 하자. 그러면 ff에 디펜드하는 ν≪μ\nu \ll\mu인 ν\nu가 존재한다.

이를 보이는 것은 증명이랄 것도 없다. ν\nu를 아래와 같이 정의하면 ν≪μ\nu \ll\mu이기 때문에 위 조건을 만족하는 ν\nu가 존재한다는 것을 알 수 있다.

ν(E):=∫Efdμ,E∈E \nu (E):=\int_{E} f d\mu,\quad E \in \mathcal{E}

설명

이제 반대의 상황을 생각해보자. ν≪μ \nu \ll \mu를 만족하는 두 측도 ν\nu, μ\mu가 주어졌다고 하자. 그러면 ‘아래의 식이 성립하는 μ−\mu-적분가능한 함수 ff가 존재할까?’ 라는 질문을 할 수 있다.

ν(E)=∫Efdμ \begin{equation} \nu (E) = \int_{E} f d\mu \label{eq1} \end{equation}

정답은 ‘존재한다’이고 이는 라돈-니코딤 정리로 알 수 있다. 이러한 ff가 존재함은 확률론에서 조건부 기댓값의 존재성을 보장하므로, 라돈-니코딤 정리가 큰 의미를 갖는다고 할 수 있다.

라돈-니코딤 정리를 부호 측도에 대해서 일반화한 것을 르벡-라돈-니코딤 정리라 한다. 라돈-니코딤 정리는 르벡-라돈-니코딤 정리에서 λ=0\lambda=0인 특별한 경우를 말한다. 한편 (eq1)\eqref{eq1}을 간단하게 아래와 같이 나타낼 수 있다.

dν=fdμ d\nu=fd \mu

이렇게 나타내는 이유는 양변을 E∈EE \in \mathcal{E}에 대해서 적분을 취해보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

∫Edν=∫Efdμ  ⟹  ∫Edν=ν(E)=∫Efdμ \begin{align*} && \int_{E} d \nu &= \int_{E} f d\mu \\ \implies && \int_{E} d\nu &= \nu (E) = \int _{E} f d\mu \end{align*}

따라서 λ(E)=ν(E)−∫Efdμ\lambda (E) = \nu (E) \displaystyle - \int_{E} f d\mu는 아래와 같이 표현할 수 있다.

dλ=dν−fdμ d \lambda = d\nu -fd\mu