마틴게일의 부등식들
정리
$\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n}) \right\}$ 이 슈퍼 마틴게일이라고 하자.
- [1]: 모든 $\lambda > 0$ 에 대해 $$ \begin{align*} \lambda P \left( \max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda \right) \le & E X_{1} - \int_{(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)} X_{N} dP \\ \le & E X_{1} + E X_{N}^{-} \text{ a.s.} \end{align*} $$
- [2]: 모든 $\lambda > 0$ 에 대해 $$ \begin{align*} \lambda P \left( \min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda \right) \le & - \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda)} X_{N} dP \\ \le & E X_{N}^{-} \text{ a.s.} \end{align*} $$
$\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n}) \right\}$ 이 서브 마틴게일이라고 하자.
- [3]: 모든 $\lambda > 0$ 에 대해 $$ \begin{align*} \lambda P \left( \max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda \right) \le & \int_{(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda)} X_{N} dP \\ \le & E \left| X_{N} \right| \text{ a.s.} \end{align*} $$
- [4]: 모든 $\lambda > 0$ 에 대해 $$ \lambda P \left( \min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda \right) \le E X_{n}^{+} - E X_{1} \text{ a.s.} $$
$\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n}) \right\}$ 이 마틴게일이라고 하자.
- [5]: 모든 $\lambda > 0$ 에 대해 $$ P \left( \max_{n \le N} | X_{n} | \ge \lambda \right) \le {{1} \over {\lambda^{p}}} E |X_{N}|^{p} \text{ a.s.} $$
설명
여기서 소개된 부등식들은 [5]와 비슷하게 양변을 $\lambda$ 로 나눠 확률의 바운드를 특정하는데에 유용하게 쓰일 수 있다. 특히 마틴게일은 슈퍼 마틴게일인 동시에 서브 마틴게일이므로 위의 모든 부등식을 사용할 수 있다.
- [3]: 우리는 이미 마코프 부등식에 따라 $\displaystyle P(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda ) \le {{ 1 } \over { \lambda }} E \left| \max_{n \le N} X_{n} \right|$ 을 알고 있으나, 서브 마틴게일이라는 조건―정보가 추가됨으로써 $\displaystyle P(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda ) \le {{ 1 } \over { \lambda }} E \left| X_{N} \right|$ 과 같이 $N$ 만을 보고 바운드를 더 줄인 것으로 볼 수 있다.
- [4]: 서브 마틴게일-슈퍼 마틴게일이라는 조건의 대비와 함께 [1]과 짝을 이룬다고 볼 수 있다.
- [5]: 이 수식은 일반화된 마코프 부등식 $\displaystyle P(|X|^{p} \ge C^{p}) \le {{ 1 } \over { C^{p} }} E | X |^{p}$ 와 마찬가지로 $\lambda>1$ 이 주어져있을 때 $p$ 를 키울수록 확률의 바운드를 줄일 수 있으나, 그 이전에 $X_{N}$ 의 $p$차 모멘트가 존재해야함을 명심해야한다.
증명
전략[1], [2]: 바운디드 $N$ 을 생각하므로 다음의 정리를 사용해 부등식에서 출발한다.
선택적 샘플링 정리: $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 슈퍼 마틴게일이고 $\tau$ 와 $\sigma$ 가 $\sigma \le \tau$ 면서 $\mathcal{F}_{n}$ 에 대해 바운디드 정지 시간이라고하면 $$ E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} $$
증명 과정에서 정의되는 $T$ 는 $X_{n}$ 이 처음으로 $\lambda$ 를 넘어가는 순간으로써, 그 횟수가 $N$ 을 넘어가면 포기하고 그냥 $N$ 을 취하는 것으로 볼 수 있다. 이것을 잘 이해하는 것이 관건으로, 이를 기준으로 삼아 적분 영역을 쪼개는 트릭을 사용한다.
[1]
Part 1. 정지 시간 $T$ 의 정의
확률 변수 $ T:= \begin{cases} \inf \left\{ n \le N: X_{n} \ge \lambda \right\} &, n < N \\ N &, \text{otherwise} \end{cases}$ 를 정의하자. 이제 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $(T = k) \in \mathcal{F}_{k}$ 인지 확인해서 $T$ 가 정지 시간임을 보이자. 우선 $k = n < N$ 에 대해서는 $$ (T = n) = \left( X_{1} < \lambda , \cdots , X_{n-1} < \lambda, X_{n} \ge \lambda \right) \in \mathcal{F}_{n} $$ 이고, $k = N$ 에 대해서는 $k = N-1$ 번째까지만 $X_{k} < \lambda$ 인지 확인하면 되므로 $$ (T = N) = \left( X_{1} < \lambda , \cdots , X_{n-1} < \lambda \right) \in \mathcal{F}_{N-1} \subset \mathcal{F}_{N} $$
Part 2.
선택적 샘플링 정리에 따라 거의 확실히 $E \left( X_{T} | \mathcal{F}_{1} \right) \le X_{1}$ 이므로 $$ \begin{align*} \int_{\Omega} X_{1} dP \ge& \int_{\Omega} E \left( X_{T} | \mathcal{F}_{1} \right) dP \\ =& \int_{\Omega} X_{T} dP \\ =& \int_{(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda)} X_{T} dP + \int_{(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)} X_{T} dP\text{ a.s.} \end{align*} $$ 위의 전개에서 가장 마지막 줄은 적분 영역을 $(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda)$ 와 $(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)$ 로 나눈 것이다. 그러면 $T$ 의 정의에 따라 $(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda)$ 상에서는 $X_{T} \ge \lambda$ 이고 $(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)$ 상에서는 $X_{T} = X_{N}$ 이므로 $$ \begin{align*} \int_{\Omega} X_{1} dP \ge& \int_{(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda)} X_{T} dP + \int_{(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)} X_{T} dP \\ =& \int_{(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda)} \lambda dP + \int_{(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)} X_{N} dP \\ =& \lambda P \left( \max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda \right) + \int_{(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)} X_{N} dP \text{ a.s.} \end{align*} $$
Part 3.
항을 정리하면 $$ \begin{align*} \lambda P \left( \max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda \right) \le & & \int_{\Omega} X_{1} dP - \int_{(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)} X_{N} dP \\ =& E X_{1} - \int_{(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)} X_{N}^{+} dP + \int_{(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)} X_{N}^{-} dP \text{ a.s.} \end{align*} $$ 여기서 $X_{N}^{+} \ge 0$ 이므로 $\displaystyle - \int_{(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)} X_{N}^{+} dP$ 는 탈락시키고 $$ \int_{(\max_{n \le N} X_{n} < \lambda)} X_{N}^{-} dP \le \int_{\Omega} X_{N}^{-} dP = E X_{N}^{-} $$ 이므로 $$ \lambda P \left( \max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda \right) \le E X_{1} + E X_{N}^{-} \text{ a.s.} $$
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[2]
Part 1. 정지 시간 $T$ 의 정의
확률 변수 $ T:= \begin{cases} \inf \left\{ n \le N: X_{n} \le - \lambda \right\} &, n < N \\ N &, \text{otherwise} \end{cases}$ 를 정의하자. 이제 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $(T = k) \in \mathcal{F}_{k}$ 인지 확인해서 $T$ 가 정지 시간임을 보이자. 우선 $k = n < N$ 에 대해서는 $$ (T = n) = \left( X_{1} > - \lambda , \cdots , X_{n-1} > - \lambda, X_{n} \le - \lambda \right) \in \mathcal{F}_{n} $$ 이고, $k = N$ 에 대해서는 $k = N-1$ 번째까지만 $X_{k} > - \lambda$ 인지 확인하면 되므로 $$ (T = N) = \left( X_{1} > - \lambda , \cdots , X_{n-1} > - \lambda \right) \in \mathcal{F}_{N-1} \subset \mathcal{F}_{N} $$ 이고, $T \le N$ 이다.
Part 2.
조건부 기대값의 성질: 모든 시그마 필드 $\mathcal{G}$ 에 대해 $E \left[ E ( X | \mathcal{G} ) \right] = E(X)$
선택적 샘플링 정리에 따라 거의 확실히 $E \left( X_{N} | \mathcal{F}_{T} \right) \le X_{n}$ 이고, 양변에 기대값 $E$ 를 취하면 증명 [1]의 Part 2.와 비슷하게 $$ \begin{align*} E X_{N} \le & E X_{T} \\ =& \int_{\Omega} X_{T} dP \\ =& \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda )} X_{T} dP + \int_{(\min_{n \le N} X_{n} > - \lambda )} X_{T} dP \\ \le & - \lambda P \left( \min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda \right)+ \int_{(\min_{n \le N} X_{n} > - \lambda )} X_{N} dP \end{align*} $$ 그런데 $\displaystyle E X_{N} = \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda )} X_{N} dP + \int_{(\min_{n \le N} X_{n} > - \lambda )} X_{N} dP$ 이므로 $$ \begin{align*} & \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda )} X_{N} dP + \int_{(\min_{n \le N} X_{n} > - \lambda )} X_{N} dP \\ \le & - \lambda P \left( \min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda \right)+ \int_{(\min_{n \le N} X_{n} > - \lambda )} X_{N} dP \end{align*} $$ 양변에서 $\displaystyle \int_{(\min_{n \le N} X_{n} > - \lambda )} X_{N} dP$ 을 소거시키면 $$ \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda )} X_{N} dP \le - \lambda P \left( \min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda \right) $$
Part 3.
부호를 반전시키면 $$ \begin{align*} \lambda P \left( \min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda \right) \le & - \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda )} X_{N} dP \\ =& - \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda )} X_{N}^{+} dP + \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda )} X_{N}^{-} dP \end{align*} $$ 역시 증명 [1]의 Part 3과 비슷하게 $X_{N}^{+} \ge 0$ 이므로 $\displaystyle - \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda )} X_{N}^{+} dP$ 는 탈락시키고 $$ \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda )} X_{N}^{-} dP \le \int_{\Omega} X_{N}^{-} dP = E X_{N}^{-} $$ 이므로 $$ \lambda P \left( \min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda \right) \le E X_{N}^{-} \text{ a.s.} $$
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[3]
$$ \begin{align*} \lambda P \left( \max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda \right) =& \lambda P \left( - \max_{n \le N} X_{n} \le - \lambda \right) \\ =& \lambda P \left( \min_{n \le N} (-X_{n}) \le - \lambda \right) \end{align*} $$ $\left\{ \left( -X_{n} , \mathcal{F}_{n} \right) \right\}$ 은 슈퍼 마틴게일이므로 [2]에 따라 $$ \begin{align*} \lambda P \left( \min_{n \le N} (-X_{n}) \le - \lambda \right) \le & - \int_{(\min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda)} (-X_{N}) dP \\ \le & \int_{(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda)} X_{N} dP \\ \le & \int_{(X_{N} \ge 0)} X_{N} dP \\ \le & E X_{N}^{+} \\ \le & E \left| X_{N} \right| \text{ a.s.} \end{align*} $$
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[4]
$\left\{ \left( -X_{n} , \mathcal{F}_{n} \right) \right\}$ 은 슈퍼 마틴게일이므로 [1]에 따라 $$ \begin{align*} \lambda P \left( \min_{n \le N} X_{n} \le - \lambda \right) =& \lambda P \left( \max_{n \le N} \left( -X_{n} \right) \ge \lambda \right) \\ \le & E \left( -X_{1} \right) + E \left( -X_{N} \right)^{-} \\ =& E \left( -X_{N} \right)^{-} - E X_{1} \\ =& E \left( -X_{N}^{+} + X_{N}^{-} \right)^{-} - E X_{1} \\ =& E \left( X_{N} \right)^{+} - E X_{1} \text{ a.s.} \end{align*} $$
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[5]
조건부 옌센 부등식의 따름 정리에 따라 $\left\{ \left( |X_{n}|^{p} , \mathcal{F}_{n} \right) \right\}$ 는 서브 마틴게일이므로 [3]에 따라 $$ \begin{align*} & \lambda^{p} P \left( \max_{n \le N} | X_{n} |^{p} \ge \lambda^{p} \right) \le E \left| X_{N} \right|^{p} \text{ a.s.} \\ \iff & P \left( \max_{n \le N} | X_{n} |^{p} \ge \lambda^{p} \right) \le {{ 1 } \over { \lambda^{p} }} E \left| X_{N} \right|^{p} \text{ a.s.} \\ \iff & P \left( \max_{n \le N} | X_{n} | \ge \lambda \right) \le {{ 1 } \over { \lambda^{p} }} E \left| X_{N} \right|^{p} \text{ a.s.} \end{align*} $$
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