logo

토탈 배리에이션 📂측도론

토탈 배리에이션

정의1

가측공간 (X,E)(X, \mathcal{E})위의 부호 측도 ν\nu의 토탈 배리에이션total variation ∣ν∣| \nu |를 다음과 같이 정의한다.

∣ν∣=ν++ν− |\nu |= \nu^{+} +\nu^{-}

이때 ν=ν+−ν−\nu=\nu^{+}-\nu^{-}는 ν\nu의 조던 분해이다.

설명

ν+\nu^{+}와 ν−\nu^{-}를 각각 ν\nu의 포지티브 배리에이션positive variation, 네거티브 배리에이션negative variation이라 한다. 측도에 대한 조던 분해와 토탈 배리에이션은 임의의 함수를 음이아닌 두 함수로 표현하는 방법과 완전히 같다. 토탈 배리에이션 ∣ν∣|\nu|에 대해서 다음이 성립한다.

정리1

E∈EE \in \mathcal{E}라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 동치이다.

  • (a) EE가 ν\nu-null이다.
  • (b) EE가 ∣ν∣|\nu|-null이다.

증명

  • (a)   ⟹  \implies (b)

    EE가 ν\nu-null이라고 하자. X=P∪NX=P\cup N을 ν\nu에 대한 XX의 한 분해라고 하자. 그러면 가정에 의해 모든 F⊂EF\subset E, F∈EF\in \mathcal{E}에 대해서 다음이 성립한다.

    ν+(F)=ν(F∩P)=0ν−(F)=ν(F∩N)=0 \begin{align*} \nu^{+}(F) &= \nu (F \cap P)=0 \\ \nu^{-}(F) &= \nu (F \cap N)=0 \end{align*}

    따라서 아래의 식이 성립한다.

    ∣ν∣(F)=ν+(F)+ν−(F)=0,∀F⊂E | \nu | (F)= \nu^{+}(F) + \nu^{-}(F)=0,\quad \forall F\subset E

    그러므로 EE는 ∣ν∣| \nu |-null이다.

  • (b)   ⟹  \implies (a)

    EE가 ∣ν∣| \nu |-null이라고 하자. 그러면 모든 F⊂EF\subset E, F∈EF\in \mathcal{E}에 대해서 다음이 성립한다.

    ∣ν∣(F)=ν+(F)+ν−(F)=0 | \nu | (F)=\nu^{+} (F) +\nu ^- (F)=0

    그런데 ν+\nu^{+}, ν−\nu^{-}는 양측도 이므로 위 식이 성립하려면 반드시 ν+(F)=0\nu^{+} (F)=0, ν−(F)=0\nu^{-} (F)=0이어야만 한다. 따라서 다음을 얻는다.

    ν(F)=ν+(F)−ν−(F)=0,∀F⊂E \nu (F) = \nu^{+} (F) - \nu^{-} (F)=0,\quad \forall F\subset E

    그러므로 EE는 ν\nu-null이다.

■

증명 과정에서 동치인 조건이 아래와 같이 확장됨을 알 수 있다.

  • (a) EE가 ν\nu -null이다.
  • (b) EE가 ∣ν∣|\nu| -null이다.
  • (b’) EE가 ν+\nu^{+} -null, ν−\nu^{-} -null이다.

정리2

두 부호 측도 ν\nu, μ\mu에 대해서 아래의 조건들은 모두 동치이다.

  • (c) ν⊥μ\nu \perp \mu
  • (d) ν+⊥μ\nu^{+} \perp \mu 그리고 ν−⊥μ\nu^{-} \perp \mu
  • (e) ∣ν∣⊥μ|\nu| \perp \mu

증명

  • (c)   ⟹  \implies (d)

    가정에 의해 EE가 ν\nu-null이고, FF가 μ\mu-null인 E∪F=XE \cup F =X, E∩F=∅E \cap F=\varnothing가 존재한다. 이때 EE가 ν+\nu^{+}-null, ν−\nu^{-}-null임을 보이면 뮤츄얼리 싱귤러의 정의에 의해 증명 완료이다. 그런데 정리 1 에 의해 EE가 ν\nu-null이면, ν+\nu^{+}-null, ν−\nu^{-}-null이기도 하므로 다음이 성립한다.

    ν+⊥μandν−⊥μ \nu^{+} \perp \mu \quad \text{and} \quad \nu^{-} \perp \mu

    ■

  • (d)   ⟹  \implies (e)

    가정에 의해 E+E_+가 ν+\nu^{+}-null이고, FF가 μ\mu-null인 E+∪F+=XE_+ \cup F_+ =X, E+∩F+=∅E_+ \cap F_+=\varnothing가 존재한다. 또한 E−E_-가 ν−\nu^{-}-null이고, FF가 μ\mu-null인 E−∪F−=XE_- \cup F_- =X, E−∩F−=∅E_- \cap F_-=\varnothing가 존재한다. 이제 집합 A, B1, B2, B3A,\ B_{1},\ B_2,\ B_{3}을 아래와 같이 정의하자.

    A:=E+∩E−,B1:=E+∩F−B2:=F+∩F−,B3:=E−∩F+ A:= E_+ \cap E_-,\quad B_{1}:=E_+ \cap F_- \\ B_2:=F_+ \cap F_- ,\quad B_{3}:=E_- \cap F_+

    그러면 네 집합은 각각 서로소이고 다음을 만족한다.

    A∪B1∪B2∪B3=X A\cup B_{1} \cup B_2 \cup B_{3} =X

    그리고 AA는 ν+\nu^{+}-null이고 ν−\nu^{-}-null이다. 따라서 AA는 ∣ν∣| \nu |-null이다. 또한 모든 jj에 대해서 BjB_{j}는 μ\mu-null이다. 이제 B=∪BjB=\cup B_{j}라고 하자. 그러면 A∪B=XA\cup B=X, A∩B=∅A \cap B=\varnothing이고 AA가 ∣ν∣| \nu |-null, BB가 μ\mu-null이므로 다음이 성립한다.

    ∣ν∣⊥μ | \nu| \perp \mu

    ■

  • (e)   ⟹  \implies (c)$

    가정에 의해 EE가 ∣ν∣| \nu |-null이고, FF가 μ\mu-null인 E∪F=XE \cup F =X, E∩F=∅E \cap F=\varnothing가 존재한다. 정리 1 에 의해 EE가 ∣ν∣| \nu |-null이면 ν\nu-null이기도 하므로 증명 완료

    ■

  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p ↩︎