토탈 배리에이션
정의1
가측공간 $(X, \mathcal{E})$위의 부호 측도 $\nu$의 토탈 배리에이션total variation $| \nu |$를 다음과 같이 정의한다.
$$ |\nu |= \nu^{+} +\nu^{-} $$
이때 $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$는 $\nu$의 조던 분해이다.
설명
$\nu^{+}$와 $\nu^{-}$를 각각 $\nu$의 포지티브 배리에이션positive variation, 네거티브 배리에이션negative variation이라 한다. 측도에 대한 조던 분해와 토탈 배리에이션은 임의의 함수를 음이아닌 두 함수로 표현하는 방법과 완전히 같다. 토탈 배리에이션 $|\nu|$에 대해서 다음이 성립한다.
정리1
$E \in \mathcal{E}$라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 동치이다.
- (a) $E$가 $\nu$-null이다.
- (b) $E$가 $|\nu|$-null이다.
증명
(a) $\implies$ (b)
$E$가 $\nu$-null이라고 하자. $X=P\cup N$을 $\nu$에 대한 $X$의 한 분해라고 하자. 그러면 가정에 의해 모든 $F\subset E$, $F\in \mathcal{E}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \nu^{+}(F) &= \nu (F \cap P)=0 \\ \nu^{-}(F) &= \nu (F \cap N)=0 \end{align*} $$
따라서 아래의 식이 성립한다.
$$ | \nu | (F)= \nu^{+}(F) + \nu^{-}(F)=0,\quad \forall F\subset E $$
그러므로 $E$는 $| \nu |$-null이다.
(b) $\implies$ (a)
$E$가 $| \nu |$-null이라고 하자. 그러면 모든 $F\subset E$, $F\in \mathcal{E}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ | \nu | (F)=\nu^{+} (F) +\nu ^- (F)=0 $$
그런데 $\nu^{+}$, $\nu^{-}$는 양측도 이므로 위 식이 성립하려면 반드시 $\nu^{+} (F)=0$, $\nu^{-} (F)=0$이어야만 한다. 따라서 다음을 얻는다.
$$ \nu (F) = \nu^{+} (F) - \nu^{-} (F)=0,\quad \forall F\subset E $$
그러므로 $E$는 $\nu$-null이다.
■
증명 과정에서 동치인 조건이 아래와 같이 확장됨을 알 수 있다.
- (a) $E$가 $\nu$ -null이다.
- (b) $E$가 $|\nu|$ -null이다.
- (b’) $E$가 $\nu^{+}$ -null, $\nu^{-}$ -null이다.
정리2
두 부호 측도 $\nu$, $\mu$에 대해서 아래의 조건들은 모두 동치이다.
- (c) $\nu \perp \mu$
- (d) $\nu^{+} \perp \mu$ 그리고 $\nu^{-} \perp \mu$
- (e) $|\nu| \perp \mu$
증명
(c) $\implies$ (d)
가정에 의해 $E$가 $\nu$-null이고, $F$가 $\mu$-null인 $E \cup F =X$, $E \cap F=\varnothing$가 존재한다. 이때 $E$가 $\nu^{+}$-null, $\nu^{-}$-null임을 보이면 뮤츄얼리 싱귤러의 정의에 의해 증명 완료이다. 그런데 정리 1 에 의해 $E$가 $\nu$-null이면, $\nu^{+}$-null, $\nu^{-}$-null이기도 하므로 다음이 성립한다.
$$ \nu^{+} \perp \mu \quad \text{and} \quad \nu^{-} \perp \mu $$
■
(d) $\implies$ (e)
가정에 의해 $E_+$가 $\nu^{+}$-null이고, $F$가 $\mu$-null인 $E_+ \cup F_+ =X$, $E_+ \cap F_+=\varnothing$가 존재한다. 또한 $E_-$가 $\nu^{-}$-null이고, $F$가 $\mu$-null인 $E_- \cup F_- =X$, $E_- \cap F_-=\varnothing$가 존재한다. 이제 집합 $A,\ B_{1},\ B_2,\ B_{3}$을 아래와 같이 정의하자.
$$ A:= E_+ \cap E_-,\quad B_{1}:=E_+ \cap F_- \\ B_2:=F_+ \cap F_- ,\quad B_{3}:=E_- \cap F_+ $$
그러면 네 집합은 각각 서로소이고 다음을 만족한다.
$$ A\cup B_{1} \cup B_2 \cup B_{3} =X $$
그리고 $A$는 $\nu^{+}$-null이고 $\nu^{-}$-null이다. 따라서 $A$는 $| \nu |$-null이다. 또한 모든 $j$에 대해서 $B_{j}$는 $\mu$-null이다. 이제 $B=\cup B_{j}$라고 하자. 그러면 $A\cup B=X$, $A \cap B=\varnothing$이고 $A$가 $| \nu |$-null, $B$가 $\mu$-null이므로 다음이 성립한다.
$$ | \nu| \perp \mu $$
■
(e) $\implies$ (c)$
가정에 의해 $E$가 $| \nu |$-null이고, $F$가 $\mu$-null인 $E \cup F =X$, $E \cap F=\varnothing$가 존재한다. 정리 1 에 의해 $E$가 $| \nu |$-null이면 $\nu$-null이기도 하므로 증명 완료
■
Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p ↩︎