📂집합론

집합의 데카르트 곱

정의 ¹

1. 임의의 두 대상 $a$, $b$ 에 대해 $(a,b)$ 를 순서쌍^{ordered Pair}이라 한다.
2. 임의의 두 집합 $A$, $B$ 에 대해 $a \in A$, $b \in B$ 의 순서쌍 $(a,b)$ 의 집합을 $A$, $B$ 의 데카르트 곱^{cartesian product}이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$A \times B := \left\{ (a,b): a \in A \land b \in B \right\}$$

설명

데카르트 곱에서 ‘곱’이라는 표현을 쓰는 이유는 집합이 가지는 원소의 개수를 생각했을 때 $| A \times B | = | A | \times |B|$ 가 되기 때문이다. 하나의 집합 $X$ 에 대해서 $X \times X$ 는 $X^{2}$ 와 같이 나타내는데, 실수의 집합 $\mathbb{R}$ 을 생각해보면 $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 는 좌표평면의 모든 점을 원소로 갖는 집합으로 볼 수 있다. 이는 수직선의 모든 점을 갖는 $\mathbb{R}$ 을 곱함으로써 좌표평면 $\mathbb{R}^2$ 을 얻을 수 있다는 말이 된다. 데카르트 곱에서 ‘데카르트’라는 표현을 쓰는 이유는 바로 이 좌표평면을 고안하고 수학계에 도입해서 해석기하학의 세계를 연 사람이 바로 데카르트기 때문이다. 데카르트가 칸토어보다 훨씬 이전 사람이고 집합론에 직접적으로 기여한 바는 없지만, 개념적으로 앞서있었기 때문에 이러한 명명의 주인공이 될 자격은 충분하다고 할 수 있겠다.

이러한 데카르트 곱은 당연히 일반화가 가능하며, 그 예로써 삼차원 공간 $\mathbb{R}^{3}$ 은 물론 일반적인 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{p}, p \in \mathbb{N}$ 도 생각해볼 수 있다. 상상하기는 어렵겠지만 데카르트 곱은 자연수 너머로도 확장될 수 있다.

정리

한편 데카르트 곱에 대해 다음의 분배법칙들이 성립한다.

분배법칙

임의의 집합 $A$, $B$, $C$ 에 대해 $$A \times (B \cap C) = ( A \times B) \cap (A \times C) \\ A \times (B \cup C) = ( A \times B) \cup (A \times C) \\ A \times (B \setminus C) = ( A \times B) \setminus (A \times C)$$

같이보기

• 집합의 데카르트 곱
• 군의 데카르트 곱
• 위상 공간의 데카르트 곱