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선택적 샘플링 정리 증명 📂확률론

선택적 샘플링 정리 증명

정리

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 와 슈퍼 마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 주어져 있다고 하자.

τ\tau 와 σ\sigma 가 σ≤τ\sigma \le \tau 면서 Fn\mathcal{F}_{n} 에 대해 바운디드 정지 시간이라고하면 E(Xτ∣Fσ)≤Xσ a.s. E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.}

  • τ\tau 가 Fn\mathcal{F}_{n} 에 대해 바운디드라는 것은 말 그대로 모든 E∈FnE \in \mathcal{F}_{n} 에 대해 τ(E)≤N\tau (E) \le N 를 만족하는 N∈NN \in \mathbb{N} 이 존재한다는 것이다.

설명

수식 자체가 말해주는 것은 σ≤τ≤N\sigma \le \tau \le N 이라는 조건이 있을 때 슈퍼 마틴게일의 조건 E(Xσ+1∣F)≤Xσ a.s. E \left( X_{\sigma +1} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} 이 τ\tau 로 바뀌어도 E(Xτ∣F)≤Xσ a.s. E \left( X_{\tau} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} 와 같이 부등식의 방향이 유지된다는 것이다.

증명

Part 1. 1(σ=b)1(τ≥n)=1(σ=n)\mathbb{1}_{(\sigma = b)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} = \mathbb{1}_{(\sigma = n)}

σ≤τ\sigma \le \tau 이므로 (σ=n)⊂(τ≥n)(\sigma = n ) \subset ( \tau \ge n) 이고, 1(σ=b)1(τ≥n)=1(σ=n)\mathbb{1}_{(\sigma = b)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} = \mathbb{1}_{(\sigma = n)}

Part 2. (τ≥n+1)∈Fn( \tau \ge n+1) \in \mathcal{F}_{n}

(τ<n+1)=(τ≤n)∈Fn( \tau < n+1) = ( \tau \le n ) \in \mathcal{F}_{n} 인데, (τ<n+1)=(τ≥n+1)c( \tau < n+1) = ( \tau \ge n+1)^{c} 이므로 시그마 필드의 정의에 따라 (τ≥n+1)∈Fn( \tau \ge n+1) \in \mathcal{F}_{n} 이어야한다.

Part 3. Xn1(σ=n)≥E(Xτ∣Fn1(σ=n))X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \right)

n=1,⋯ ,Nn = 1 , \cdots , N 인 경우에 대해서 다음을 생각해보자.

조건부 기대값의 성질: XX 가 F\mathcal{F}-가측이면 E(X∣F)=X a.s.E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}

조건부 기대값의 성질과 지시 함수의 성질과 Part 1, 2에 따라 모든 사건 A∈FnA \in \mathcal{F}_{n} 에 대해 ∫AXn1(σ=n)dP−∫AE(Xτ∣Fn)1(σ=n)dP=∫AXn1(σ=n)1(τ≥n)dP−∫AE(Xτ∣Fn)1(σ=n)1(τ≥n)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)XndP−∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)E(Xτ∣Fn)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)E(Xn∣Fn)dP−∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)E(Xτ∣Fn)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)E(Xn−Xτ∣Fn)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)(Xn−Xτ)dP \begin{align*} & \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP - \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \\ =& \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} dP - \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } X_{n} dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{n} - X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \end{align*} 적분 범위의 (τ≥n)( \tau \ge n) 를 (τ>n)( \tau > n) 와 (τ=n)( \tau = n) 로 쪼개면 (τ=n)(\tau = n) 에서(Xτ−Xn)=0(X_{\tau} - X_{n}) = 0 이므로 ∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)(Xn−Xτ)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)(Xn−Xτ)dP+∫A∩(σ=n)∩(τ=n)(Xn−Xτ)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)(Xn−Xτ)dP+0 \begin{align*} & \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP + \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau = n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP + 0 \end{align*} {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 슈퍼 마틴 게일로 주어져 있고 XτX_{\tau} 는 Fn\mathcal{F}_{n}-가측이므로 Xτ=E(Xτ∣Fn) a.s.X_{\tau} = E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \text{ a.s.} 이 되어 ∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)(Xn−Xτ)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)XndP−∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)XτdP≥∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)E(Xn+1∣Fn)dP−∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)E(Xτ∣Fn)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)E(Xn+1−Xτ∣Fn)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)(Xn+1−Xτ)dP≥∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+2)(Xn+2−Xτ)dP⋮≥∫A∩(σ=n)∩(τ≥N)(XN−Xτ)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ=N)(XN−Xτ)dP=0 a.s. \begin{align*} & \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } X_{n} dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } X_{\tau} dP \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{n+1} - X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n+1} - X_{\tau} \right) dP \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +2 ) } \left( X_{n+2} - X_{\tau} \right) dP \\ & \vdots & \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge N ) } \left( X_{N} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau = N ) } \left( X_{N} - X_{\tau} \right) dP \\ =& 0 \text{ a.s.} \end{align*} 그러면 가장 처음에 시작했던 식에서 ∫AXn1(σ=n)dP≥∫AE(Xτ∣Fn)1(σ=n)dP a.s. \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \ge \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \text{ a.s.} 이고 ∀A∈F,∫Afdm=0  ⟺  f=0 a.e.\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.} 이므로 Xn1(σ=n)≥E(Xτ∣Fn)1(σ=n) a.s. X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \text{ a.s.}

Part 4. E(Xτ∣F)≤Xσ a.s. E \left( X_{\tau} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.}

정지 시간의 성질: ZnZ_{n} 가 FnF_{n}-가측 함수면 Zn1σ=nZ_{n} \mathbb{1}_{\sigma = n} 은 Fσ\mathcal{F}_{\sigma}-가측 함수면서 Fn\mathcal{F}_{n}-가측 함수다. 그 뿐만 아니라, Zn1(σ=n)=Zσ1(σ=n)Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = Z_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} 이 성립한다.

정지 시간의 성질과 Part 3에 따라 n=1,⋯ ,Nn=1,\cdots, N 에 대해 Xn1(σ=n)≥E(Xτ∣Fn)1(σ=n)  ⟺  Xσ1(σ=n)≥E(Xτ∣Fσ)1(σ=n)  ⟺  Xσ≥E(Xτ∣Fσ) \begin{align*} & X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \\ \iff & X_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \\ \iff & X_{\sigma} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \end{align*}

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