선택적 샘플링 정리 증명
정리
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 슈퍼 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 주어져 있다고 하자.
$\tau$ 와 $\sigma$ 가 $\sigma \le \tau$ 면서 $\mathcal{F}_{n}$ 에 대해 바운디드 정지 시간이라고하면 $$ E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} $$
- $\tau$ 가 $\mathcal{F}_{n}$ 에 대해 바운디드라는 것은 말 그대로 모든 $E \in \mathcal{F}_{n}$ 에 대해 $\tau (E) \le N$ 를 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재한다는 것이다.
설명
수식 자체가 말해주는 것은 $\sigma \le \tau \le N$ 이라는 조건이 있을 때 슈퍼 마틴게일의 조건 $$ E \left( X_{\sigma +1} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} $$ 이 $\tau$ 로 바뀌어도 $$ E \left( X_{\tau} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} $$ 와 같이 부등식의 방향이 유지된다는 것이다.
증명
Part 1. $\mathbb{1}_{(\sigma = b)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} = \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$
$\sigma \le \tau$ 이므로 $(\sigma = n ) \subset ( \tau \ge n)$ 이고, $\mathbb{1}_{(\sigma = b)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} = \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$
Part 2. $( \tau \ge n+1) \in \mathcal{F}_{n}$
$( \tau < n+1) = ( \tau \le n ) \in \mathcal{F}_{n}$ 인데, $( \tau < n+1) = ( \tau \ge n+1)^{c}$ 이므로 시그마 필드의 정의에 따라 $( \tau \ge n+1) \in \mathcal{F}_{n}$ 이어야한다.
Part 3. $X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \right)$
$n = 1 , \cdots , N$ 인 경우에 대해서 다음을 생각해보자.
조건부 기대값의 성질: $X$ 가 $\mathcal{F}$-가측이면 $E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}$
조건부 기대값의 성질과 지시 함수의 성질과 Part 1, 2에 따라 모든 사건 $A \in \mathcal{F}_{n}$ 에 대해 $$ \begin{align*} & \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP - \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \\ =& \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} dP - \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } X_{n} dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{n} - X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \end{align*} $$ 적분 범위의 $( \tau \ge n)$ 를 $( \tau > n)$ 와 $( \tau = n)$ 로 쪼개면 $(\tau = n)$ 에서$(X_{\tau} - X_{n}) = 0$ 이므로 $$ \begin{align*} & \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP + \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau = n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP + 0 \end{align*} $$ $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 슈퍼 마틴 게일로 주어져 있고 $X_{\tau}$ 는 $\mathcal{F}_{n}$-가측이므로 $X_{\tau} = E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \text{ a.s.}$ 이 되어 $$ \begin{align*} & \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } X_{n} dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } X_{\tau} dP \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{n+1} - X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n+1} - X_{\tau} \right) dP \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +2 ) } \left( X_{n+2} - X_{\tau} \right) dP \\ & \vdots & \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge N ) } \left( X_{N} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau = N ) } \left( X_{N} - X_{\tau} \right) dP \\ =& 0 \text{ a.s.} \end{align*} $$ 그러면 가장 처음에 시작했던 식에서 $$ \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \ge \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \text{ a.s.} $$ 이고 $\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$ 이므로 $$ X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \text{ a.s.} $$
Part 4. $ E \left( X_{\tau} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.}$
정지 시간의 성질: $Z_{n}$ 가 $F_{n}$-가측 함수면 $Z_{n} \mathbb{1}_{\sigma = n}$ 은 $\mathcal{F}_{\sigma}$-가측 함수면서 $\mathcal{F}_{n}$-가측 함수다. 그 뿐만 아니라, $Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = Z_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ 이 성립한다.
정지 시간의 성질과 Part 3에 따라 $n=1,\cdots, N$ 에 대해 $$ \begin{align*} & X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \\ \iff & X_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \\ \iff & X_{\sigma} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \end{align*} $$
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