📂집합론

정칙성 공리

공리

$$ \forall X \left( \exists x_{0} ( x_{0} \in X ) \implies \exists y ( y \in X \land \lnot \exists x ( x \in y \land x \in X )) \right) $$ 모든 집합 $X \ne \emptyset$ 은 자기 자신과 서로소인 원소를 가진다.

설명

$X = \left\{ X \right\}$ 은 존재하지 않는다

정칙성 공리에 따라 스스로를 원소로 포함하는 재귀 집합, 예컨대 $X = \left\{ X \right\}$ 와 같은 집합은 존재할 수 없다. 자기 자신과 서로소가 되기 위해서는 적어도 자기 자신은 아니어야하기 때문이다.

정칙성 공리는 공집합이 아닌 집합이 ‘어떠한 원소를 가진다’는 것이 아니라 ‘이런 집합 같은 건 없다’는 것에 역점을 두어 읽어야한다. 수학은 어지간해서는 ‘하지 말라’는 말을 하지 않는데, 이러한 집합의 존재성은 그만큼 반칙이기 때문에 굳이 공리로 만들어 명시할 필요가 있었다. 생각해보면 대부분이 그러하듯 무언가가 부재함을 보이는 것은 존재함을 보이는 것보다 어렵다. 그만큼 강력한 공리다.

꼭 정칙성 공리로 당장 무언가 쓸만한 것을 떠올려야할 필요는 없다. 그저 앞으로 집합이 쓰인 수학―거의 모든 수학에서 ‘이런 집합을 생각해보면 어때?‘와 같은 질문을 원천봉쇄하는 역할로도 충분하다. 어떤 개념을 생각할때마다 재귀적인 집합의 가능성을 고려하는 건 몹시 피곤한 일이다. 이를 한 줄 명제로 못박고 시작해주었으니 고맙지 않을 수가 없다.

자기 자신을 원소로 가지는 집합은 존재하지 않는다 ¹

정칙성 공리만 읽어봤을 때, 언뜻 $X \cap \emptyset = \emptyset$ 이므로 $X = \left\{ X , \emptyset \right\}$ 인 $X$ 가 존재하지 못할 이유가 없어보이기도 한다. 그러나 짝 공리와 함께라면 그뿐만 아니라 아예 $X \in X$ 인 집합 자체가 존재하지 않음을 보일 수 있다.

$X \in X$ 인 집합 $X$ 가 존재한다고 가정하자. 짝 공리에 따르면 모든 집합 $X$ 에 대해 $\left\{ X, X \right\} = \left\{ X \right\}$ 가 존재한다. $\left\{ X \right\}$ 는 공집합이 아닌 집합이므로 반드시 그 자신인 $\left\{ X \right\}$ 와 서로소인 원소를 가져야하는데, 그 후보가 될 수 있는 원소는 $X$ 하나뿐이다. 그런데 정칙성 공리에 따르면 이렇게 $\left\{ X \right\}$ 와 서로소인 집합으로써 존재하는 $X$ 는 $X \cap \left\{ X \right\} = \emptyset$ 를 만족시켜야 하는데, 이는 $X \in X$ 에 모순이다. 따라서 $X \in X$ 인 집합, 즉 자기 자신을 원소로 가지는 집합은 존재하지 않는다.

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이 정리 그 자체만으로도 ‘모든 집합의 집합’과 같은 집합은 존재하지 않는다는 것을 보장해서 러셀의 역설을 논파할 수 있게 된다.