조건부 옌센 부등식 증명
정리
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 서브 시그마 필드 $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ 가 주어져있다고 하고 $X$ 가 확률 변수라고 하자.
컨벡스 함수 $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 와 $\phi (X) \in \mathcal{L}^{1} ( \Omega ) $에 대해 $$ \phi \left( E \left( X | \mathcal{G} \right) \right) \le E \left( \phi (X) | \mathcal{G} \right) $$
- $\phi$ 가 컨벡스라는 것은 모든 $x,y \in \mathbb{R}$ 와 $\alpha \in [0,1]$ 에 대해 다음을 만족하는 함수라는 것이다. $$ \phi ( \alpha x + (1 - \alpha ) y ) \le \alpha \phi (x) + (1 - \alpha ) \phi (y) $$
- $\mathcal{G}$ 가 $\mathcal{F}$ 의 서브 시그마 필드라는 것은 둘 다 $\Omega$ 의 시그마 필드이되, $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ 임을 의미한다.
설명
조건부 옌센 부등식은 이름 그대로 옌센 부등식의 기대값 폼이 조건부에서도 똑같이 적용됨을 보장한다.
증명
- $X$ 가 $\mathcal{F}$-가측이면 $E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}$
- 상수 $a$, $b$ 에 대해 $E(aX + b | \mathcal{G}) = a E(X | \mathcal{G}) + b \text{ a.s.}$
$\phi$ 는 컨벡스하므로 모든 $\mu \in \mathbb{R}$ 에 대해 $$ \begin{align} \phi ( x ) \ge m ( x - \mu ) + \phi ( \mu) \end{align} $$ 를 만족시키는 기울기 $m$ 이 존재한다. 이제 $\mu := E \left( X | \mathcal{G} \right)$ 라고 두고 $(1)$ 에 조건부 기대값 $E \left( \cdot | \mathcal{G} \right)$ 을 취하면 $\mu$ 와 $\phi \left( E \left( X | \mathcal{G} \right) \right)$ 는 $\mathcal{G}$-가측이므로 $$ \begin{align*} E \left( \phi (X) | \mathcal{G} \right) \ge& m E \left( X - \mu | \mathcal{G} \right) + E \left( \phi ( \mu ) | \mathcal{G} \right) \\ =& m E \left( X | \mathcal{G} \right) - m E \left( E \left( X | \mathcal{G} \right) | \mathcal{G} \right) + E \left( \phi ( \mu ) | \mathcal{G} \right) \\ =& m E \left( X | \mathcal{G} \right) - m E \left( X | \mathcal{G} \right) + E \left( \phi ( \mu ) | \mathcal{G} \right) \\ =& E \left( \phi ( \mu ) | \mathcal{G} \right) \\ =& E \left( \phi \left( E \left( X | \mathcal{G} \right) \right) | \mathcal{G} \right) \\ =& \phi \left( E \left( X | \mathcal{G} \right) \right) \end{align*} $$
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