📂집합론

멱집합 공리

공리 ¹

$$ \forall X \exists P \forall A ( A \subset X \implies A \in P) $$ 임의의 집합 $X$ 에 대해 $X$ 의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합 $P$ 가 존재한다.

설명

$X$ 의 멱집합은 일반적으로 $\mathcal{P} (X)$ 와 같이 표기하거나 $2^{X}$ 와 같이 쓰는데, 그 이유는 유한 집합 $X$ 의 원소의 개수를 $|X|$ 이라고 하면 $\left| \mathcal{P} (X) \right| =2^{|X|}$ 이기 때문이다. 꼭 개수가 중요한 것은 아니기 때문에 집합론을 많이 쓰면 많이 쓰는 분과일수록 $2^{X}$ 와 같은 표현을 선호한다.

원소의 개수가 지수적으로 증가하는데에서 어느정도 짐작할 수 있겠지만, 멱집합 $2^{X}$ 라는 것은 $X$ 와 비교했을 때 꽤, 아주 크다. 또한 멱집합 공리에 따라 멱집합의 멱집합 역시 존재하므로, 이런 식으로 크기를 키워나간 집합을 얼마든지 생각해볼 수 있다.

멱집합의 예로써 다음을 생각해보자:

$$ X = \left\{ 1,2 \right\} $$

$$ 2^{X} = \left\{ \emptyset , \left\{ 1 \right\} , \left\{ 2 \right\}, \left\{ 1,2 \right\} \right\} $$ 여기서 공집합 $\emptyset$ 과 원래의 집합 $X$ 가 $2^{X}$ 에 속함에 주목하라. 다음은 이와 같은 몇몇 멱집합의 기본적인 성질이다. 공집합 역시 $2^{X}$ 의 원소가 된다는 것은 처음 접하면 어색할지도 모르겠으나, 공집합도 엄연한 집합이며 집합은 집합의 원소가 될 수 있으므로 자연스럽게 받아들일 수 있어야한다.

기초 성질

• [1]: $A \subset X \iff A \in 2^{X}$
• [2]: $\emptyset \in 2^{X}$
• [3]: $X \in 2^{X}$

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만약 집합의 포함 관계에 대한 개념이 빈약하다면 당연히 헷갈릴 수 있다. 아쉽게도 집합론을 막 접할 땐 멱집합을 엄청나게 많이 쓰지 않고 딱히 이에 익숙해지기에 좋은 연습 문제도 없다. 현실적으로는 시간이 약이라고 생각하고 천천히 익숙해지는 수밖에 없다.