📂집합론

분류 공리꼴

공리 ¹

$$ \forall X \exists A \forall a \left( a \in A \iff ( a \in X \land p(a)) \right) $$ 임의의 집합 $X$ 에 대해 성질 $p$ 를 가지는 원소들로 이루어진 부분집합 $A$ 가 존재한다.

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• $p(x)$ 는 $X$ 에서의 명제함수다.

설명

$A$ 를 $X$ 의 부분집합으로 한정하는 이유는 러셀의 역설과 같은 문제가 일어나는 것을 방지하기 위함이다.공리가 아니라 공리꼴인 이유는 이 공리가 무수히 많은 $p(x)$ 에 따라 무수히 많이 존재하기 때문이다. 서로 다른 두 명제함수 $p_{1}(x)$ 와 $p_{2}(x)$ 가 있다고 하면 $\left\{ a \in X : p_{2}(a) \text{ is truth} \right\} \subset X$ 의 존재성을 보장하는 것은 ‘$p_{1}(x)$ 에 대한 분류 공리’가 아니라 ‘$p_{2}(x)$ 에 대한 분류 공리’다.

교집합과 차집합의 정의 ²

분류 공리꼴은 다음과 같이 정의되는 교집합의 존재성을 보장한다.

$$ x \in A \land x \in B \iff x \in A \cap B $$ 임의의 두 집합 $A$, $B$ 에 대해 둘 다에 속하는 원소들의 집합을 $A$ 와 $B$ 의 교집합이라 하고, $A \cap B$ 와 같이 나타낸다.

여기서 집합 $A$ 에 대해 주어진 명제함수는 $p(x): x \in B$ 으로, $A \cap B= \left\{ x \in A : x \in B \right\}$ 와 같이 구체적으로 쓸 수 있다. 만약 $A \cap B = \emptyset$ 이면 $A$ 와 $B$ 는 서로 소^disjoint라고 한다.

물론 분류 공리꼴은 그뿐만이 아니라 특정한 조건을 만족하는 모든 부분집합들의 존재성 또한 보장한다. 이는 집합을 표현하는 방법 중 하나인 조건제시법 그 자체라고 보아도 무방하다.

$$ x \in A \land x \notin B \iff x \in A \setminus B $$ 임의의 두 집합 $A$, $B$ 에 대해 $A$ 에는 속하지만 $B$ 에는 속하지 않는 원소의 집합을 $A$ 에 대한 $B$ 의 차집합이라 하고, $A \setminus B$ 와 같이 나타낸다.

집합 $U$ 에 대해 $U \setminus A$ 를 $A$ 의 여집합이라 하고 $A^{c}$ 과 같이 나타낸다. 이렇게 여집합을 생각할 때 집합 $U$ 를 전체집합이라고 부르기도 한다.

집합론은 무한하지만 그렇다고 수학의 모든 분과과목이 추상적인 세계 전체를 탐구할 필요는 없다. 보통 필요에 부합하는 어떤 전체집합을 정해두며, 위상수학과 같은 분야는 이러한 개념을 특히 많이 사용한다. 여집합과 전체집합에 대해 다음의 몇가지 성질들을 소개한다.

기초 성질

집합 $A$, $B$ 는 전체집합 $U$ 의 임의의 부분집합이라고 하자.

• [1] $$ \left(A^{c} \right)^{c} = A $$
• [2] $$ \emptyset^{c} = U \\ U^{c} = \emptyset $$
• [3] $$ A \cap A^{c} = \emptyset \\ A \cup A^{c} = U $$
• [4] $$ A \subset B \implies B^{c} \subset A^{c} $$
• [5] $$ A \setminus B = A \cap B^{c} $$

증명

[5]

$$ \begin{align*} x \in A \setminus B &\iff x \in A \text{ and } x \notin B \\ &\iff x \in A \text{ and } x \in B^{c} \\ &\iff x \in A \cap B^{c} \end{align*} $$

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