📂전자기학

쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지

개요¹

전위와 전하밀도, 전류밀도 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$\begin{align*} \nabla ^2 V +\dfrac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{A}) &= -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho \\ \left( \nabla ^2 \mathbf{A}-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} \right) -\nabla\left( \nabla \cdot \mathbf{A} +\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial V}{\partial t}\right) &= -\mu_{0} \mathbf{J} \end{align*}$$

이때 전위에 대한 가정을 어떻게 두느냐에 따라서 식이 달라진다.

쿨롱 게이지^{Columb gauge}

정자기학에서와 같이 벡터 전위의 다이벌전스를 $0$으로 한다.

$$\nabla \cdot \mathbf{A}=0$$

이렇게 하면 전하밀도에 관한 식을 스칼라전위에 대해서만 나타낼 수 있다. 즉, 푸아송 방정식이 된다.

$$\nabla^{2} V = -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho$$

장점은 스칼라 전위$V$를 계산하기 쉽다는 것이고, 단점은 벡터 전위$\mathbf{A}$를 계산하기 어렵다는 것이다. 벡터 전위$\mathbf{A}$는 아래의 식으로 구할 수 있다.

$$\nabla^{2} \mathbf{A} - \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} = -\mu_{0} \mathbf{J} + \mu_{0} \epsilon_{0} \nabla \left( \frac{\partial V}{\partial t} \right)$$

로렌츠 게이지^{Lorenz gauge}

벡터 전위 $\mathbf{A}$의 발산을 아래와 같이 둔다.

$$\nabla \cdot \mathbf{A} = -\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial V}{\partial t}$$

그러면 스칼라 전위$V$와 벡터 전위$\mathbf{A}$가 분리되어 같은 모양의 수식으로 나타난다.

$$\nabla^{2} V - \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}} = -\frac{1}{\epsilon_{0}} \rho$$

$$\nabla^{2} \mathbf{A} - \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} = -\mu_{0} \mathbf{J}$$

이 때 달랑베르시안^{d’Alembertian, 달랑베르 연산자}을 사용하면 더 간단한 형태로 나타낼 수 있다. 달랑베르시안은 아래와 같이 정의된다.

$$\Box^{2} := \nabla^{2} - \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}$$

달랑베르시안을 사용하면

$$\Box^{2} V = -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho$$

$$\Box^{2} \mathbf{A} = -\mu_{0}\mathbf{J}$$

같이보기

• 게이지 변환