조건부 확률의 성질들
정리
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 서브 시그마 필드 $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ 가 주어져있다고 하자.
- [1] 모든 $B \in \mathcal{G}$ 에 대해 $0 \le P(B | \mathcal{G}) \le 1$
- [2] 확률의 연속성: 네스티드 시퀀스 $\left\{ B_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{G}$ 에 대해 $$ \lim_{n \to \infty} B_{n} = B \implies P ( B_{n} | \mathcal{G} ) \to P ( B | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} $$
- [3] $\left\{ B_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 $\Omega$ 의 파티션이면 $$ P \left( \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} B_{n} | \mathcal{G} \right)= \sum_{n \in \mathbb{N}} P \left( B_{n} | \mathcal{G} \right) $$
- 사건의 시퀀스 $\left\{ B_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{G}$ 가 네스티드라는 것은 다음 두가지 성질 중 하나를 가진다는 뜻이다. $$ \forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n+1} \iff B_{n} \subset B_{n+1} \subset \cdots \\ \forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n-1} \iff B_{n} \subset B_{n-1} \subset \cdots $$
- 네스티드 시퀀스는 어떤 사건 $B \in \mathcal{G}$ 에 대해 다음과 같은 성질들을 가질 수 있다. $$ \forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n+1} \land \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_{n} = B \implies \lim_{n \to \infty} B_{n} = B \\ \forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n-1} \land \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n} = B \implies \lim_{n \to \infty} B_{n} = B $$
- $\bigsqcup$ 은 서로소인 집합끼리의 합집합을 의미하는 기호다.
증명
[1]
$P$ 는 확률이므로 조건부 확률과 조건부 기대값의 정의에 따라 모든 $A \in \mathcal{G}$ 에 대해 $$ \begin{align*} \int_{A} 0 dP \le & \int_{A} P(B | \mathcal{G}) dP \\ =& \int_{A} E ( \mathbb{1}_{B} | \mathcal{G} ) dP \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{B} dP \\ \le & \int_{A} 1 dP \end{align*} $$ $\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$ 이므로 $0 \le P(B | \mathcal{G}) \le 1$
■
[2]
$\forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n+1}$ 인 경우에 대해서만 성립함을 보이면 $B_{n} := \Omega \setminus A_{n}$ 와 같이 둠으로써 $\forall n \in \mathbb{N}, A_{n} \subset A_{n-1}$ 인 경우도 성립함을 보일 수 있다. $\forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n+1}$ 라고 가정하면 조건부 확률의 정의와 조건부 단조 수렴 정리에 따라 $$ \begin{align*} \lim_{n \to \mathbb{N}} P(B_{n} | \mathcal{G}) \color{red}{=}& \lim_{n \to \infty} E ( \mathbb{1}_{B_{n}} | \mathcal{G} ) \\ \color{blue}{=}& E \left( \lim_{n \to \infty} \mathbb{1}_{B_{n}} | \mathcal{G} \right) \\ =& E \left( \mathbb{1}_{B} | \mathcal{G} \right) \\ \color{red}{=}& P(B | \mathcal{G} ) \end{align*} $$
■
[3]
$\left\{ B_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 $\Omega$ 의 파티션이면 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\displaystyle \bigsqcup_{k=1}^{n} B_{k} \subset \bigsqcup_{k=1}^{n+1} B_{k}$ 이므로 [2] 확률의 연속성에 따라 $$ \begin{align*} P \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} B_{n} | \mathcal{G} \right) =& P \left( \lim_{n \to \infty} \bigsqcup_{k=1}^{n} B_{k} | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} P \left( \bigsqcup_{k=1}^{n} B_{k} | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} E \left( \mathbb{1}_{\bigsqcup_{k=1}^{n} B_{k}} | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} E \left( \mathbb{1}_{B_{k}} | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} P \left( B_{k} | \mathcal{G} \right) \\ =& \sum_{n=1}^{\infty} P \left( B_{n} | \mathcal{G} \right) \end{align*} $$
■