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조건부 지배 수렴 정리 증명 📂확률론

조건부 지배 수렴 정리 증명

정리

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 이 주어져 있다고 하자.

확률변수의 시퀀스 {Xn}n∈N\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 이 모든 n∈Nn \in \mathbb{N} 과 어떤 Y∈L1(Ω)Y \in \mathcal{L}^{1} (\Omega) 에 대해 ∣Xn∣≤Y| X_{n} | \le Y 라고 하면 Xn→X a.s.  ⟹  E(Xn∣G)→G) a.s. X_{n} \to X \text{ a.s.} \implies E( X_{n} | \mathcal{G} ) \to \mathcal{G} ) \text{ a.s.}

설명

조건부 지배 수렴 정리는 단지 지배 수렴 정리dCT가 조건부 기대값에 대해서도 똑같이 적용된다는 것을 말해준다. 물론 확률론에서의 역할도 DCT와 같다.

증명

조건부 기대값의 성질

  • [7]: E(X+Y∣G)=E(X∣G)+E(Y∣G) a.s.E(X+Y | \mathcal{G}) = E(X | \mathcal{G}) + E(Y| \mathcal{G}) \text{ a.s.}
  • [10]: ∣E(X∣G)∣≤E(∣X∣∣G) a.s.\left| E( X | \mathcal{G} ) \right| \le E ( | X | | \mathcal{G} ) \text{ a.s.}

∣E(Xn∣G)−E(X∣G)∣=∣E(Xn−X∣G)∣≤E(∣Xn−X∣∣G)≤E(sup⁡k≥n∣Xk−X∣∣G) \begin{align*} & \left| E( X_{n} | \mathcal{G} ) - E( X | \mathcal{G} ) \right| \\ \color{red}{=}& \left| E( X_{n} - X | \mathcal{G} ) \right| \\ \color{blue}{\le}& E( \left| X_{n} - X \right| | \mathcal{G} ) \\ \le & E \left( \sup_{k \ge n} \left| X_{k} - X \right| | \mathcal{G} \right) \end{align*} 이므로 조건부 단조 수렴 정리와 리미트 슈프리멈의 성질, 조건 Xn→X a.s.X_{n} \to X \text{ a.s.} 에 따라 lim⁡n→∞∣E(Xn∣G)−E(X∣G)∣≤lim⁡n→∞E(sup⁡k≥n∣Xk−X∣∣G)=E(lim⁡n→∞sup⁡k≥n∣Xk−X∣∣G)=E(lim⁡n→∞∣Xn−X∣G)=0 a.s. \begin{align*} & \lim_{n \to \infty} \left| E( X_{n} | \mathcal{G} ) - E( X | \mathcal{G} ) \right| \\ \le & \lim_{n \to \infty} E( \sup_{k \ge n} \left| X_{k} - X \right| | \mathcal{G} ) \\ \color{red}{=}& E \left( \lim_{n \to \infty} \sup_{k \ge n} \left| X_{k} - X \right| | \mathcal{G} \right) \\ =& E \left( \lim_{n \to \infty} \left| X_{n} - X \right| \mathcal{G} \right) \\ \color{blue}{=}& 0 \text{ a.s.} \end{align*}

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