프레셰 도함수에 대한 연쇄 법칙
정리
$(X, \left\| \cdot \right\|_{X}), (Y, \left\| \cdot \right\|_{Y}), (Z, \left\| \cdot \right\|_{Z})$가 바나흐 공간이라고 하자. $\Omega \subset X$, $U \subset Y$가 열린 집합이라고 하자. 그리고 함수 $F : \Omega \to Y$, $G : U \to Z$가 주어졌다고 하자. 이 때 $F(\Omega) \subset U$를 만족한다. 이제 $F$가 $x\in\Omega$에서 (프레셰) 미분가능하고, $G$가 $z=F(x)\in U$에서 미분가능하다고 가정하자. 그러면 $H:=G \circ F$도 $x\in \Omega$에서 미분 가능하고 아래의 식이 성립한다.
$$ DH(x) = DG(z)DF(x)=DG\big( F(x) \big)\cdot DF(x) $$
설명
당연하게도 프레셰 도함수 역시 연쇄법칙이 성립한다.
증명
우선 $R, R_{1}$을 다음과 같다고 하자.
$$ \begin{equation} R(x,y)=F(x+y)-F(x)-DF(x)y,\quad \forall y\in X,\ x+y\in \Omega \end{equation} $$
$$ \begin{equation} R_{1}(z,w)=G(z+w)-G(z)-DG(z)w,\quad \forall w\in Y,\ z+w\in U \end{equation} $$
그러면 가정에 의해 $F$가 $x$에서, $G$가 $z$에서 미분 가능하므로
$$ \begin{equation} \lim \limits_{\|y\|_{X} \to 0} \frac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}}=0= \lim \limits_{\|w\|_{Y} \to 0} \frac{\| R_{1}(z,w)\|_{Z}}{\|w\|_{Y}} \end{equation} $$
또한 $(1)$에 의해 $x+y\in \Omega$인 $y\in X$에 대해서
$$ \begin{align*} H(x+y) =&\ G\big( F(x+y) \big) \\ =&\ G\big( F(x)+DF(x)y+R(x,y) \big) \end{align*} $$
이때 $DF(x)y+R(x,y)=W^{\prime}$라고 두면, $G$는 선형이고 $z=F(x)$이므로 $(2)$에 의해
$$ \begin{align*} H(x+y) =&\ G(z+W^{\prime}) \\ =&\ G(z)+DG(z)W^{\prime}+R_{1}(z,W^{\prime}) \\ =&\ G(z)+DG(z)\big( DF(x)y+ R(x,y) \big) + R_{1}(z, DF(x)y+R(x,y) \big) \\ =&\ H(x)+DG(z)DF(x)y+DG(z)R(x,y)+ R_{1}\big(z,DF(x)y+R(x,t) \big) \tag{4} \end{align*} $$
마지막 두 항을 $R_2(x,y)$라 두고, $f$가 아래와 같다고 하자.
$$ R_2(x,y)=DG(z)R(x,y)+R_{1}\big( z, DF(x)y +R(x,y) \big) \in Z $$
$$ f(w) = \begin{cases} \dfrac{ \| R_{1}(z,w) \|_{Z}}{\|w\|_{Y}} \quad & \forall w \in Y, z+w\in U, w \ne 0 \\ 0 & w=0 \end{cases} $$
그러면 $\lim \limits_{\| y\| \to 0} \dfrac{\|R_2(x,y)\|_{Z}}{\|y \|_{X}}=0$임을 확인할 수 있다. 놈의 정의에 의해 삼각 부등식이 성립하고, $ \|L x\|\le \|L\| \|x\|$이므로
$$ \begin{align*} \frac{\| R_2(x,y) \|_{Z}}{\|y \|_{X}} \color{red}{\le}& \frac{\| DG(z)R(x,y) \|_{Z} }{\| y\|_{X}} +\frac{\|R_{1} \big( z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|y\|_{X}} \\[1em] \color{green}{\le}& \|DG(z)\| \frac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +\frac{\|R_{1} \big(z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|y\|_{X}} \end{align*} $$
또한 $f$의 정의와 삼각 부등식에 의해
$$ \begin{array}{ll} & \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +\dfrac{\|R_{1} \big(z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|y\|_{X}} \\[1.5em] =&\ \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +\dfrac{\|R_{1} \big(z, DF(x)y+R(x,y) \big)\|_{Z}}{\|DF(x)y +R(x,y)\|_{Y}}\dfrac{\|DF(x)y +R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \\[1.5em] \color{magenta}{=}& \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +f\big( DF(x)y +R(x,y) \big)\dfrac{\|DF(x)y +R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \\[1.5em] \color{red}{\le}& \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +f\big( DF(x)y +R(x,y) \big)\Bigg[\dfrac{\|DF(x)y\|_{Y}}{\|y\|_{X}} +\dfrac{\|R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \Bigg] \\[1.5em] \color{green}{\le}& \|DG(z)\| \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}} +f\big( DF(x)y +R(x,y) \big)\Bigg[\|DF(x)\|\dfrac{\|y\|_{X}}{\|y\|_{X}} +\dfrac{\|R(x,y)\|_{Y}}{\|y\|_{X}} \Bigg] \end{array} $$
우선 $\lim \limits_{\| y\|_{X} \to 0} \dfrac{\| R(x,y)\|_{Y}}{\| y\|_{X}}=0$이므로 첫번째 항은 $\| y\| \to 0$일 때 $0$이다. $(3)$과 $f$의 정의에 의해 $DF(x)y+R(x,y) \to 0$이면 $f \to 0$이다. 미분가능하다는 가정에 의해 $R(x,y) \to 0$이고 $DF(x)$는 유계 선형이므로 $\|y\| \to 0$일 때 $DF(x)y \to 0$이다. 또한 맨 마지막 항 역시 미분 가능하다는 가정에 의해 $0$으로 수렴한다. 따라서
$$ \lim \limits_{\| y\| \to 0} \frac{\| R_2(x,y) \|_{Z}}{\|y \|_{X}}\le \|DG(z) \| \cdot 0 + 0\cdot \Big[ \|DF(x)\| + 0 \Big] =0 $$
이 결과를 $(4)$에 적용하면
$$ H(x+y)-H(x)+DG(z)DF(x)y=R_2(x,y) $$
$$ \implies \frac{\left\|H(x+y)-H(x)+DG(z)DF(x)y\right\|_{Z}}{\|y\|_{X}}=\frac{\left\| R_2(x,y)\right\|_{Z} }{\|y\|_{X}} $$
$$ \implies \lim \limits_{\|y\|_{X} \to 0}\frac{\left\|H(x+y)-H(x)+DG(z)DF(x)y\right\|_{Z}}{\|y\|_{X}}=\lim \limits_{\|y\|_{X} \to 0}\frac{\left\| R_2(x,y)\right\|_{Z} }{\|y\|_{X}}=0 $$
그러므로 미분 가능의 정의에 의해 $H$는 $x\in \Omega$에서 미분 가능하고, $H$의 도함수는
$$ DH(x)=DG(z)DF(x) $$
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