감마 분포의 평균과 분산
공식
확률변수 $X$ 가 감마분포 $\Gamma \left( k , \theta \right)$ 에 대해 $X \sim \Gamma \left( k , \theta \right)$ 라고 하자. $$ E(X) = k \theta \\ \text{Var} (X) = k \theta^{2} $$
유도
전략: 감마 분포의 정의와 감마 함수의 기본적인 성질로 직접 연역한다. $x$ 의 차수가 변하는만큼 계수의 분자 분모를 맞춰주는 트릭을 쓴다.
감마 분포의 정의: $k, \theta > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 $\Gamma ( k , \theta )$ 를 감마 분포라고 한다. $$ f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} \qquad , x > 0 $$
감마 함수의 재귀 공식: $$ \Gamma (p+1)=p\Gamma (p) $$
평균
$$ \begin{align*} E(X) =& \int _{0} ^{\infty} x { 1 \over { \Gamma ( k ) \theta^k } } x^{k– 1} e^{ - {{x} \over {\theta }} } dx \\ =& \int _{0} ^{\infty} { {k \theta} \over { \Gamma (k+1) \theta^{k+1} } } x^{k} e^{ - {{x} \over {\theta}} } dx \\ =& {k \theta} \end{align*} $$
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분산
$$ \begin{align*} E( X^2 ) =& \int _{0} ^{\infty} x^2 { 1 \over { \Gamma (k) \theta^k} } x^{k– 1} e^{ - {{x} \over {\theta}} } dx \\ =& \int _{0} ^{\infty} { {k (k+ 1) \theta^2 } \over { \Gamma (k+2) \theta^{k+2} } } x^{k+1} e^{ - {{x} \over {\theta}} } dx \\ =& {k^2 \theta^2 + k \theta^2} \end{align*} $$ 따라서 $$ \begin{align*} \text{Var}(X) =& (k^2 \theta^2 + k \theta^2) - (k \theta)^2 \\ =& k \theta^2 \end{align*} $$
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