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측도론으로 정의되는 확률 변수의 조건부 기대값 📂확률론

측도론으로 정의되는 확률 변수의 조건부 기대값

정의

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 이 주어져 있다고 하자.

G\mathcal{G} 가 F\mathcal{F} 의 서브 시그마 필드고 확률 변수 X∈L1(Ω)X \in \mathcal{L}^{1} ( \Omega ) 는 적분 가능하다. 모든 A∈GA \in \mathcal{G} 에 대해 ∫AYdP=∫AXdP \int_{A} Y d P = \int_{A} X d P 를 만족하는 G\mathcal{G}-가측 확률 변수 YY 가 유일하게 존재하면 Y:=E(X∣G)Y := E ( X | \mathcal{G} ) 를 G\mathcal{G} 에 대한 XX 의 조건부 기대값이라고 정의한다.

  • 아직 측도론을 접하지 못했다면 확률 공간이라는 말은 무시해도 좋다고 말하고 싶지만, 사실 측도론을 전혀 모르면서 본 포스트의 내용을 제대로 이해하는 것은 거의 불가능하다.
  • G\mathcal{G} 가 F\mathcal{F} 의 서브 시그마 필드라는 것은 둘 다 Ω\Omega 의 시그마 필드이되, G⊂F\mathcal{G} \subset \mathcal{F} 임을 의미한다. YY 가 G\mathcal{G}-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 B∈B(R)B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) 에 대해 Y−1(B)∈GY^{-1} (B) \in \mathcal{G} 라는 의미다.

설명

수식적인 정의에서 G\mathcal{G} 는 기존의 확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 만큼 막막하게 넓지 않고 조금의 정보가 더 주어진 확률 공간 (Ω,G,P)( \Omega , \mathcal{G} , P) 이 된다. 또한 ∫AXdP=∫AYdP=∫AE(X∣G)dP \int_{A} X d P = \int_{A} Y d P = \int_{A} E ( X | \mathcal{G} ) d P 라는 것은 그 작아진 공간 안에서는 그 계산이 같다는 뜻이므로 확률 PP 를 F\mathcal{F} 에서 G\mathcal{G} 로 잘 끌어내리고 그 성질을 유지했다고 말할 수 있다.

또한 정의의 형식에서 E(X∣G)E ( X | \mathcal{G} ) 는 G\mathcal{G}-가측 확률 변수로써 존재하므로, 별 말이 없어도 기대값은 확률변수며 주어진 시그마 필드에 대해 가측이라는 것을 당연하게 받아들일 수 있어야한다.

직관적으로 받아들이기 어려운 정의는 아니나, 그 표현이 다소 낯설 것이다. 확률 변수 XX 에 대해 σ(X):={X−1(B):B∈B(R)}\sigma (X) := \left\{ X^{-1} (B) : B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\} 은 XX 로써 생성되는 Ω\Omega 의 가장 작은 시그마 필드 σ(X)⊂F\sigma (X) \subset \mathcal{F} 로, 다음과 같이 익숙한 표현에 쓰인다. E(Y∣X)=E(Y∣σ(X)) E(Y|X) = E \left( Y | \sigma (X) \right) 물론 이렇게 쓸 수 있기는 하지만, 측도론이 도입된 확률론을 계속 공부할 생각이라면 이쪽에 익숙해지는 게 훨씬 편하다. 생각해보면 E(Y∣X)E(Y|X) 는 개념만 직관적이었지 수식을 다루거나 직접 계산할 땐 너무나 골치 아픈 표기법이기도 했다. 미련 없이 떠나보내도록 하자.

한편 조건부 기대값의 존재성은 라돈-니코딤 정리에 의해 보장된다. 정리를 이해하는 것이 관건일 뿐 증명 자체는 어렵지 않다.

증명

Case 1. X≥0X \ge 0

PG(A):=∫AXdP P_{\mathcal{G}}(A) := \int_{A} X d P 모든 A∈GA \in \mathcal{G} 에 대해 PGP_{\mathcal{G}} 를 위와 같이 정의하면 PGP_{\mathcal{G}} 는 G\mathcal{G} 상에서의 측도가 되고, PG≪PP_{G} \ll P이다.

라돈-니코딤 정리가측 공간 (Ω,F)( \Omega , \mathcal{F} ) 의 두 시그마 유한 측도 ν\nu, μ\mu 가 ν≪μ\nu \ll \mu 를 만족하면 모든 A∈FA \in \mathcal{F} 에 대해 μ\mu-거의 어디서나 h≥0h \ge 0 이고 ν(A)=∫Ahdμ \nu (A) = \int_{A} h d \mu 을 만족하는 F\mathcal{F}-가측 함수 ff 가 주어진 μ\mu 에 따라 유일하게 존재한다.

정리에 따라 ν=PG\nu = P_{\mathcal{G}}, μ=P\mu = P 라고 두면 모든 A∈GA \in \mathcal{G} 에 대해 PG(A)=∫AYdP P_{\mathcal{G}} (A) = \int_{A} Y d P 를 만족하는 Y≥0Y \ge 0 가 유일하게 존재한다. 처음 PGP_{\mathcal{G}} 의 정의에 따라 YY 는 G\mathcal{G} 에 대한 XX 의 조건부 기대값이 된다.

Case 2. 일반적인 경우

XX 를 두 개의 X+,X−≥0X^{+} , X^{-} \ge 0 으로 분해해서 **Case 1.**과 같은 방법으로 쓰면 된다.

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