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조던 분해 정리 📂측도론

조던 분해 정리

정리

가측공간 (X,E)(X,\mathcal{E})와 그 위에서 정의된 부호측도 ν\nu가 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 조건을 만족하는 두 양측도 ν+\nu^{+}, ν−\nu^{-}가 유일하게 존재하고 ν=ν+−ν−\nu=\nu^{+}-\nu^{-}를 ν\nu 조던 분해Jodan decomposition라고 한다.

ν=ν+−ν− \nu=\nu^{+}-\nu^{-}

ν+⊥ν− \nu^{+} \perp \nu^{-}

이때 X=P∪NX=P \cup N을 한 분해라고 하면 ν+,ν−\nu^{+}, \nu^{-}는 다음과 같다.

ν+(E)=ν(E∩P)ν−(E)=−ν(E∩N) \begin{align*} \nu^{+} (E) &= \nu ( E \cap P) \\ \nu^{-}(E) &= -\nu (E \cap N) \end{align*}

증명

  • Part 1. 존재성

    가측공간 (X,E)(X,\mathcal{E})와 그 위에서 정의된 부호측도 ν\nu가 주어졌다고 하자. 그러면 한 분해 정리에 의해서 두 X=P∪NX=P \cup N, P∩N=∅P\cap N=\varnothing을 만족하는 ν\nu에 대한 양집합 PP와 음집합 NN이 존재한다. 그리고 양측도 ν+\nu^{+}, ν−\nu^{-}를 아래와 같이 정의하자.

    ν+(E):=ν(E∩P)ν−(E):=−ν(E∩N)∀ E∈E \begin{align*} \nu^{+} (E) &:= \nu (E \cap P) \\ \nu^{-}(E) &:= -\nu (E\cap N) \end{align*} \quad \forall\ E\in\mathcal{E}

    그러면 P∪N=XP\cup N=X이므로 다음이 자명하게 성립한다.

    ν(E)=ν(E∩P)+ν(E∩N)=ν+(E)−ν−(E) \nu (E)=\nu (E\cap P)+\nu (E \cap N)=\nu^{+} (E) -\nu^{-} (E)

    또한 E1⊂PE_{1} \subset P, E2⊂NE_2 \subset N이라고 하면 모든 E1E_{1}은 ν−\nu^{-}에 대해서 영집합이고, 모든 E2E_2는 ν+\nu^{+}에 대해서 영집합이다. 따라서 PP는 ν−−null\nu^{-} -\mathrm{null}이고, NN은 ν+−null\nu^{+} -\mathrm{null}이다. 그러므로 ν+⊥ν−\nu^{+} \perp \nu^{-}이다.

  • Part 2. 유일성

    μ+\mu^+, μ−\mu^-가 위 내용을 만족하는 ν+\nu^{+}, ν−\nu^{-}와는 다른 두 양측도라고 하자.

    ν=μ+−μ− \nu=\mu^+ - \mu^-

    그리고 E, F∈EE,\ F \in \mathcal{E}가 μ+⊥μ−\mu^+\perp \mu^-를 만족하게 하는 두 집합이라고 하자.

    μ(E∩N)=μ−(E)=0=μ+(F)=μ(F∩P) \mu (E\cap N)=\mu^-(E)=0=\mu^+(F)=\mu (F\cap P)

    E∪F=XandE∩F=∅ E \cup F=X \quad \text{and} \quad E\cap F = \varnothing 위의 두 조건으로 인해 X=E∪FX=E\cup F는 또 다른 한 분해임을 알 수 있다. 이때 EE가 양집합, NN이 음집합이다. 그러면 한 분해 정리에 의해서 (P−E)∪(E−P) (P-E)\cup (E-P)는 ν\nu에 대한 영집합이다. 따라서 임의의 A∈EA \in \mathcal{E}에 대해서 다음이 성립한다.

    μ+(A)=μ+(A∩E)=ν(A∩E)=ν(A∩P)=ν+(A) \mu^+(A)=\mu^+ (A\cap E)=\nu (A\cap E)=\nu (A \cap P)=\nu^{+}(A)

    마찬가지로 다음의 식이 성립한다.

    μ−(A)=μ−(A∩F)=ν(A∩F)=ν(A∩N)=ν−(A) \mu^-(A)=\mu^- (A\cap F)=\nu (A\cap F)=\nu (A \cap N)=\nu^{-}(A)

    따라서 조던 분해 정리를 만족하는 두 양측도는 유일하다.

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