📂측도론

뮤츄얼리 싱귤러

정의¹

두 부호 측도 $\nu$, $\mu$가 주어졌다고 하자. $\nu$, $\mu$에 대해서 아래의 세 조건을 만족시키는 $E,F\ \in \mathcal{E}$가 존재하면 두 부호측도 $\nu$, $\mu$가 ^{mutually singular}라고 말하고 $\nu \perp \mu$혹은 $\mu \perp \nu$라고 나타낸다.

• $E \cup F=X$
• $E \cap F=\varnothing$
• $E$는 $\nu$에 대해서 영집합이고, $F$는 $\mu$에 대해서 영집합이다.

또한 ‘$\nu$가 $\mu$에 대해서 싱귤러이다’, ‘$\mu$가 $\nu$에 대해서 싱귤러이다’라는 표현도 모두 같은 의미이다.

설명

$\mu_{n}$을 $\mathbb{R}^n$에서의 르벡 측도라고 하자. 그리고 $\delta_{x_{0}}$를 아래와 같이 정의된 디랙 측도라고 하자.

$$\delta_{x_{0}} (E) := \begin{cases} 1 & x_{0} \in E \\ 0 & x_{0} \notin E \end{cases}$$

$E=\left\{ x_{0} \right\}$, $F=\mathbb{R}^n-E$라고 하자. 그러면 $E\cup F=\mathbb{R}^n$이고 $E \cap F=\varnothing$이다. 또한 $F$는 $\delta_{x_{0}}-\mathrm{null}$이고, $E$는 $\mu_{n} -\mathrm{null}$이므로 르벡 측도와 디랙 측도는 서로 싱귤러이다.

$$\delta_{x_{0}} \perp \mu_{n}$$