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양집합, 음집합, 영집합 📂측도론

양집합, 음집합, 영집합

정의1

ν\nu를 (X,E)(X,\mathcal{E})위에서의 부호 측도라고 하자. 그리고 E,F∈EE,F \in \mathcal{E}라고 하자. 그러면

  • ν(F)≥0, ∀F⊂E\nu (F) \ge 0,\ \forall F\subset E일 때 EE를 ν\nu에 대해서 양집합positive set 혹은 간단히 파지티브positive라고 한다.

  • ν(F)≤0, ∀F⊂E\nu (F) \le 0,\ \forall F\subset E일 때 EE를 ν\nu에 대해서 음집합negative set 혹은 간단히 네거티브negative라고 한다.

  • ν(F)=0, ∀F⊂E\nu (F)=0,\ \forall F\subset E일 때 EE를 ν\nu에 대해서 영집합null set 혹은 ν\nu-널ν\nu-null이라고 한다.

설명

정의에 따라 영집합은 양집합이면서 동시에 음집합인 집합이다. 양집합, 음집합의 정의를 오해하기 쉬우므로 정확하게 이해해야 한다. μ(E)>0\mu (E)>0일 때 EE를 양의 집합이라 부르는 것이 아니다. EE의 모든 가측인 부분 집합 F∈EF\in\mathcal{E}에 대해서 μ(F)≥0\mu (F) \ge 0이어야 EE를 양의 집합이라 부른다. 물론 이 조건을 만족하면 자연스레 ν(E)>0\nu (E) >0이 성립하긴 한다. 정리하면 다음과 같다.

E is positive set for ν  ⟹  ν(E)>0ν(E)>0̸  ⟹  E is positive set for ν E\ \mathrm{is\ positive\ set\ for\ }\nu \implies \nu (E)>0 \\ \nu (E)>0 \not\implies E\ \mathrm{is\ positive\ set\ for\ }\nu

이는 음집합, 영집합에 대해서도 마찬가지이다. 위의 얘기는 부호 측도에 대해서만 성립한다. 양측도는 얘기가 조금 다르다. μ\mu를 양측도라고 했을 때 항상 00이상의 함숫값을 가지므로 μ(E)=0\mu (E)=0인 것과 EE가 ν\nu-널인 것이 동치이다. 양집합에 대한 얘기도 마찬가지이다. 따라서 양측도에 대해서는 굳이 양집합, 영집합이라는 말을 쓰지 않는다. 아래의 그림을 보자.

5D78D9942.png

함수 ff를 구간 E2E_2에서 리만 적분하면 분명 그 값은 양수이지만 E2E_2를 양의 집합이라 부르지 않는다. 위 그림을 예로 들면 함숫값이 0보다 작은 부분이 한 점도 없는 구간이 양의 집합이다. 위 그림에서 E1E_{1}, E3E_{3}가 양의 집합이고, E5E_{5}가 음의 집합이다. E2E_2, E4E_{4}는 양의 집합도, 음의 집합도, 영집합도 아니다. 이게 가장 중요한 점인데 어떤 E∈EE \in \mathcal{E}가 반드시 양집합이거나 음집합일 필요가 없다 .

정리

  • (a) 양의 집합의 가측 부분 집합도 양의 집합이다.

  • (b) 임의의 양의 집합들의 가산합도 양의 집합이다.

증명

(a)

양의 집합의 정의에 의해서 자명하다.

(b)

P1, P2, ⋯P_{1},\ P_2,\ \cdots를 양의 집합이라 하자. 그리고 QnQ_{n}을 아래와 같이 정의하자.

Q1=P1,Qn=Pn−(⋃j=1n−1Pj) ∀ n>1 Q_{1}=P_{1},\quad Q_{n}=P_{n}-\left( \bigcup \nolimits_{j=1}^{n-1}P_{j} \right)\ \forall\ n>1

그러면 Qn⊂PnQ_{n} \subset P_{n}이고 각각의 QnQ_{n}은 서로소이다. 따라서 QnQ_{n}은 (a) 에 의해 양의 집합이다. 또한 다음의 식이 성립한다.

⋃1∞Pj=⋃1∞Qj \bigcup \nolimits_{1}^{\infty} P_{j}=\bigcup \nolimits_{1}^{\infty} Q_{j}

이제 EE를 ⋃1∞Pn\bigcup \nolimits _{1}^\infty P_{n}의 임의의 가측인 부분집합이라고 하자.

E∈(⋃1∞Qn)=(⋃1∞Pn) E \in \left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty Q_{n} \right)=\left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty P_{n} \right)

그럼 ν(E)≥0\nu (E) \ge 0인 것을 보이면 증명이 끝난다. EE의 정의에 의해 아래의 식이 성립함을 알 수 있다. E=⋃j=1∞(Qj∩E) E= \bigcup \limits_{j=1}^\infty \left( Q_{j} \cap E \right) 각각의 QnQ_{n}이 서로소이므로 부호측도의 가산가법성에 의해 다음이 성립한다.

ν(E)=ν(⋃j=1∞(Qj∩E))=∑j=1∞ν(Qj∩E) \nu (E) = \nu \left(\bigcup \nolimits_{j=1}^\infty \left( Q_{j} \cap E \right) \right) =\sum \limits_{j=1}^\infty \nu \left( Q_{j} \cap E \right)

이때 QnQ_{n}이 양의 집합이고 (Qj∩E)⊂Qj(Q_{j}\cap E ) \subset Q_{j} 이므로 위 식의 우변은 반드시 00이상이다.

ν(E)=∑j=1∞ν(Qj∩E)≥0 \nu (E) =\sum \limits_{j=1}^\infty \nu \left( Q_{j} \cap E \right) \ge 0

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  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p86 ↩︎