📂측도론

양집합, 음집합, 영집합

정의¹

$\nu$를 $(X,\mathcal{E})$위에서의 부호 측도라고 하자. 그리고 $E,F \in \mathcal{E}$라고 하자. 그러면

• $\nu (F) \ge 0,\ \forall F\subset E$일 때 $E$를 $\nu$에 대해서 양집합^{positive set} 혹은 간단히 파지티브^positive라고 한다.

• $\nu (F) \le 0,\ \forall F\subset E$일 때 $E$를 $\nu$에 대해서 음집합^{negative set} 혹은 간단히 네거티브^negative라고 한다.

• $\nu (F)=0,\ \forall F\subset E$일 때 $E$를 $\nu$에 대해서 영집합^{null set} 혹은 $\nu$-널^$\nu$-null이라고 한다.

설명

정의에 따라 영집합은 양집합이면서 동시에 음집합인 집합이다. 양집합, 음집합의 정의를 오해하기 쉬우므로 정확하게 이해해야 한다. $\mu (E)>0$일 때 $E$를 양의 집합이라 부르는 것이 아니다. $E$의 모든 가측인 부분 집합 $F\in\mathcal{E}$에 대해서 $\mu (F) \ge 0$이어야 $E$를 양의 집합이라 부른다. 물론 이 조건을 만족하면 자연스레 $\nu (E) >0$이 성립하긴 한다. 정리하면 다음과 같다.

$$ E\ \mathrm{is\ positive\ set\ for\ }\nu \implies \nu (E)>0 \\ \nu (E)>0 \not\implies E\ \mathrm{is\ positive\ set\ for\ }\nu $$

이는 음집합, 영집합에 대해서도 마찬가지이다. 위의 얘기는 부호 측도에 대해서만 성립한다. 양측도는 얘기가 조금 다르다. $\mu$를 양측도라고 했을 때 항상 $0$이상의 함숫값을 가지므로 $\mu (E)=0$인 것과 $E$가 $\nu$-널인 것이 동치이다. 양집합에 대한 얘기도 마찬가지이다. 따라서 양측도에 대해서는 굳이 양집합, 영집합이라는 말을 쓰지 않는다. 아래의 그림을 보자.

함수 $f$를 구간 $E_2$에서 리만 적분하면 분명 그 값은 양수이지만 $E_2$를 양의 집합이라 부르지 않는다. 위 그림을 예로 들면 함숫값이 0보다 작은 부분이 한 점도 없는 구간이 양의 집합이다. 위 그림에서 $E_{1}$, $E_{3}$가 양의 집합이고, $E_{5}$가 음의 집합이다. $E_2$, $E_{4}$는 양의 집합도, 음의 집합도, 영집합도 아니다. 이게 가장 중요한 점인데 어떤 $E \in \mathcal{E}$가 반드시 양집합이거나 음집합일 필요가 없다 .

정리

• (a) 양의 집합의 가측 부분 집합도 양의 집합이다.

• (b) 임의의 양의 집합들의 가산합도 양의 집합이다.

증명

(a)

양의 집합의 정의에 의해서 자명하다.

(b)

$P_{1},\ P_2,\ \cdots$를 양의 집합이라 하자. 그리고 $Q_{n}$을 아래와 같이 정의하자.

$$ Q_{1}=P_{1},\quad Q_{n}=P_{n}-\left( \bigcup \nolimits_{j=1}^{n-1}P_{j} \right)\ \forall\ n>1 $$

그러면 $Q_{n} \subset P_{n}$이고 각각의 $Q_{n}$은 서로소이다. 따라서 $Q_{n}$은 (a) 에 의해 양의 집합이다. 또한 다음의 식이 성립한다.

$$ \bigcup \nolimits_{1}^{\infty} P_{j}=\bigcup \nolimits_{1}^{\infty} Q_{j} $$

이제 $E$를 $\bigcup \nolimits _{1}^\infty P_{n}$의 임의의 가측인 부분집합이라고 하자.

$$ E \in \left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty Q_{n} \right)=\left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty P_{n} \right) $$

그럼 $\nu (E) \ge 0$인 것을 보이면 증명이 끝난다. $E$의 정의에 의해 아래의 식이 성립함을 알 수 있다. $$ E= \bigcup \limits_{j=1}^\infty \left( Q_{j} \cap E \right) $$ 각각의 $Q_{n}$이 서로소이므로 부호측도의 가산가법성에 의해 다음이 성립한다.

$$ \nu (E) = \nu \left(\bigcup \nolimits_{j=1}^\infty \left( Q_{j} \cap E \right) \right) =\sum \limits_{j=1}^\infty \nu \left( Q_{j} \cap E \right) $$

이때 $Q_{n}$이 양의 집합이고 $(Q_{j}\cap E ) \subset Q_{j}$ 이므로 위 식의 우변은 반드시 $0$이상이다.

$$ \nu (E) =\sum \limits_{j=1}^\infty \nu \left( Q_{j} \cap E \right) \ge 0 $$

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