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국소 유한 커버

정의¹

한국어

집합 $S \subset \mathbb{R}^n$의 오픈 커버 $\mathcal{O}$가 있다고 하자. $\mathbb{R}^n$에서 임의의 컴팩트 집합이 오픈 커버 $\mathcal{O}$의 원소와 기껏해야 유한하게 겹칠 때 오픈 커버 $\mathcal{O}$를 국소 유한^{locally finite}이라고 한다.

영어

An open cover $\mathcal{O}$ of a set $S\subset \mathbb{R}^n$ is said to be locally finite if any compact set in $\mathbb{R}^n$ can intersect at most finitely many members of $\mathcal{O}$.

설명

무한 커버라도 국소적으로는 유한할 수 있다. 정의에 의해 국소 유한 커버는 기껏해야 가산 집합이고, 유한 집합은 당연하게도 국소 유한이다. 또한 $S$가 닫혀있다면, 균등 유계인 $S$의 어떤 오픈 커버라도 국소 유한인 부분 커버를 가진다.