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아이젠슈타인 링의 놈 📂정수론

아이젠슈타인 링의 놈

정리

아이젠슈타인 링 Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 에 대해 함수 N:Z[ω]→ZN : \mathbb{Z}[\omega] \to \mathbb{Z} 를 생각해보자.

  • [1]: N(x+ωy):=x2−xy+y2N(x + \omega y) := x^2 - xy + y^2 이라고 정의하면 NN 은 Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 의 승법적 놈이 된다.
  • [2]: Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 은 유클리디안 도메인이다.
  • [3]: Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 의 유닛은 ±1,±ω,±ω2\pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2 뿐이다.

설명

아이젠슈타인 정수는 추상대수의 도움을 받으면 훨씬 편하게 연구할 수 있다. 인티그럴 도메인에서 정의되는 놈 NN 으로 [2] 를 증명하면 ED가 UFD 이므로 아이젠슈타인 소수로 확장된 산술의 기본정리가 곧바로 증명되는 것이나 마찬가지다. 이는 대수적으로 산술의 기본정리를 Z\mathbb{Z} 가 UFD라고 설명하는 것과 비슷하다.

증명

[1]

승법적 놈의 정의:

  • (i): N(α)=0  ⟺  α=0N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0
  • (ii): N(αβ)=N(α)N(β)N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )

NN 이 승법적 놈이 되고 Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 가 실제로 ID가 됨을 보이면 된다. 당장은 놈이 정의되어야하는 정리가 필요하지 않므로 ID인 것을 먼저 보일 필요는 없다. a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z} 에 대해 α:=a+ωb\alpha := a + \omega b, β:=c+ωd\beta := c + \omega d 라고 하자.

Part (i). N(α)=0  ⟺  α=0N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0

a:=(A+B)a := (A+B), b:=(A−B)b:= (A-B) 이라고 하면 N(α)=a2−ab+b2=0  ⟺  (A+B)2−(A+B)(A−B)+(A−B)2=0  ⟺  A2+3B2=0  ⟺  A=B=0  ⟺  a=b=0  ⟺  α=a+ωb=0 \begin{align*} & N(\alpha) = a^2 - ab+ b^2 = 0 \\ \iff & (A+B)^2 - (A+B)(A-B) + (A-B)^2 = 0 \\ \iff & A^2 + 3 B^2 = 0 \\ \iff & A = B = 0 \\ \iff & a = b = 0 \\ \iff & \alpha = a + \omega b = 0 \end{align*}

Part (ii). N(αβ)=N(α)N(β)N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )

아이젠슈타인 정수끼리의 곱은 (a+ωb)(c+ωd)=(ac−bd)+ω(ad−bd+bc)( a + \omega b )( c + \omega d) = (ac - bd) + \omega (ad - bd + bc) 와 같이 계산되므로 N(αβ)=N(ac−bd+ω(ad−bd+bc))=(ac−bd)2−(ac−bd)(ad−bd+bc)+(ad−bd+bc)2=(ac−bd)(ac−ad−bc)+(ad−bd+bc)2=(ac−bd)(ac−K)+(K−bd)2=a2c2−acbd−acK+bdK+k2−2Kbd+bd2=a2c2−acbd−acK−bdK+k2+bd2=a2c2−acbd−(ac+bd)(ad+bc)+(ad+bc)2+bd2=a2c2−acbd−a2cd−abc2−abd2−b2cd+a2d2+2adbc+b2c2+bd2=a2c2−a2cd+ad2−abc2+abcd−abd2+b2c2−b2cd+b2d2=(a2−ab+b2)(c2−cd+d2)=N(α)N(β) \begin{align*} N ( \alpha \beta ) =& N \left( ac - bd + \omega (ad -bd + bc) \right) \\ =& (ac - bd)^2 - (ac -bd)(ad - bd + bc) + (ad - bd + bc)^2 \\ =& (ac -bd)( ac -ad - bc) + (ad - bd + bc)^2 \\ =& (ac -bd)( ac -K ) + (K - bd )^2 \\ =& a^2 c^2 - acbd - acK + bdK + k^2 - 2Kbd + bd^2 \\ =& a^2 c^2 - acbd - acK - bdK + k^2 + bd^2 \\ =& a^2 c^2 - acbd - (ac + bd)(ad + bc) + (ad + bc)^2 + bd^2 \\ =& a^2 c^2 - acbd -a^2 c d - a b c^2 - abd^2 - b^2 c d +a^2 d^2 + 2 adbc + b^2 c^2 + bd^2 \\ =& a^2 c^2 - a^2 c d + a d^2 - abc^2 + abcd - abd^2 + b^2 c^2 - b^2 c d + b^2 d^2 \\ =& (a^2 - ab + b^2)(c^2 - cd + d^2) \\ =& N ( \alpha ) N ( \beta ) \end{align*} 여기서 K:=(ad+bc)K := (ad + bc) 이다.

Part 3. Z[ω]Z[ \omega ] 는 ID

α\alpha, β\beta 가 0∈Z[ω]0 \in \mathbb{Z}[ \omega ] 이 아니면서 αβ=0\alpha \beta = 0 이라고 가정하자. 그러면 Part (i)~(ii)에 따라 N(α)N(β)=N(αβ)=N(0)=0 N(\alpha) N(\beta) = N(\alpha \beta ) = N(0) = 0 이다. N(α)N(\alpha), N(β)N(\beta) 는 인티그럴 도메인 Z\mathbb{Z} 의 원소이므로 N(α)N(β)=0N(\alpha) N(\beta) = 0 을 만족시키려면 N(α)N(\alpha) 와 N(β)N(\beta) 둘 중 하나는 00 이어야하는데, 이는 가정에 모순이므로 Z[ω]Z[ \omega ] 역시 인티그럴 도메인이다.

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[2]

유클리디안 놈의 정의:

  • (i): 모든 a,b∈D(b≠0)a,b \in D (b \ne 0 ) 에 대해 a=bq+ra = bq + r 을 만족하는 qq 와 rr 이 존재한다. 이 때 r=0r = 0 이거나 ν(r)<ν(b)\nu (r) < \nu (b) 둘 중 하나여야한다.
  • (ii): 모든 a,b∈D(b≠0)a,b \in D (b \ne 0 ) 에 대해 ν(a)≤ν(ab)\nu ( a ) \le \nu ( ab )

ν:=N\nu := N 이라고 두고 NN 이 Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 의 유클리디안 놈이 됨을 보이면 된다. β≠0\beta \ne 0 이라고 하자.

Part (i). ∃σ,ρ:α=βσ+ρ\exists \sigma, \rho : \alpha = \beta \sigma + \rho

어떤 r,s∈Qr, s \in \mathbb{Q} 에 대해 αβ=r+ωs\displaystyle {{ \alpha } \over { \beta }} = r + \omega s 라고 하자. 이 r,sr, s 에 가능한 한 가까운 정수 q1,q2∈Zq_{1} , q_{2} \in \mathbb{Z} 에 대해 σ\sigma 와 ρ\rho 를 다음과 같이 두자. σ:=q1+ωq2ρ:=α−βσ \sigma := q_{1} + \omega q_{2} \\ \rho := \alpha - \beta \sigma

  • Case 1. ρ=0\rho = 0
    α=βσ\alpha = \beta \sigma 이므로 더 이상 보여야 할 것이 없다. σ=αβ=q1+ωq2\displaystyle \sigma = {{ \alpha } \over { \beta }} = q_{1} + \omega q_{2} 와 ρ=0\rho = 0 를 찾았다.
  • Case 2. N(ρ)<N(β)N ( \rho ) < N ( \beta )
    q1q_{1} 와 q2q_{2} 의 정의에 따라 ∣r−q1∣≤12∣s−q2∣≤12 | r - q_{1} | \le {{1} \over {2}} \\ | s - q_{2} | \le {{1} \over {2}} 이므로 N(αβ−σ)=N[(r+ωs)−(q1+ωq2)]=N[(r−q1)+ω(s−q2)]=(r−q1)2−(r−q1)(s−q2)+(s−q2)2≤∣r−q1∣2+∣r−q1∣∣s−q2∣+∣s−q2∣2≤(12)2+(12)(12)+(12)2=34 \begin{align*} N \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) =& N \left[ (r + \omega s) - (q_{1} + \omega q_{2}) \right] \\ =& N \left[ (r - q_{1} ) + \omega ( s - q_{2}) \right] \\ =& (r - q_{1})^2 - (r - q_{1}) (s - q_{2}) + (s - q_{2})^2 \\ \le & |r - q_{1}|^2 + | r - q_{1} | | s - q_{2} | + | s - q_{2} |^2 \\ \le & \left( {{1} \over {2}} \right)^2 + \left( {{1} \over {2}} \right) \left( {{1} \over {2}} \right) + \left( {{1} \over {2}} \right)^2 \\ =& {{3} \over {4}} \end{align*} 이에 따라 N(ρ)=N(α−βσ)=N(β(αβ−σ))=N(β)N(αβ−σ)≤N(β)34≤N(β) \begin{align*} N ( \rho ) =& N(\alpha - \beta \sigma ) \\ =& N \left( \beta \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) \right) \\ =& N (\beta) N \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) \\ \le & N(\beta) {{3} \over {4}} \\ \le & N (\beta) \end{align*} 따라서 ρ=0\rho = 0 이나 N(ρ)≤N(β)N(\rho) \le N (\beta) 를 만족하도록 하는 ρ\rho, σ\sigma 가 존재함을 보장할 수 있다.

Part (ii). N(α)≥N(α)N(β)N ( \alpha ) \ge N ( \alpha ) N ( \beta )

β≠0  ⟹  N(β)≥1\beta \ne 0 \implies N ( \beta ) \ge 1 이므로 N(α)≤N(α)⋅1≤N(α)N(β)=N(αβ) \begin{align*} N ( \alpha ) \le & N ( \alpha) \cdot 1 \\ \le & N(\alpha) N(\beta) \\ =& N ( \alpha \beta ) \end{align*}

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[3]

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승법적 놈의 성질에 따라 N(1)=1N(1) = 1 이고 u∈Z[ω]u \in \mathbb{Z}[ \omega ] 가 유닛이면 ∣N(u)∣=1| N ( u ) | = 1 이므로, 대우법에 따라 ∣N(u)∣=1| N(u) | = 1 이 아니면 uu 은 유닛이 아니다. u:=x+ωyu := x + \omega y 에 대해 N(u)=x2−xy+y2=1N(u) = x^2 - xy + y^2 = 1 을 만족하는 경우는 e0πi/3=1e1πi/3=−ω2e2πi/3=ωe3πi/3=−1e4πi/3=ω2e5πi/3=−ω \begin{align*} e^{0 \pi i / 3 } =& 1 \\ e^{1 \pi i / 3 } =& - \omega^2 \\ e^{2 \pi i / 3 } =& \omega \\ e^{3 \pi i / 3 } =& -1 \\ e^{4 \pi i / 3 } =& \omega^2 \\ e^{5 \pi i / 3 } =& - \omega \end{align*} 즉, u∈{±1,±ω,±ω2}u \in \left\{ \pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2 \right\} 일 때 뿐이다.

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