일반적인 평행육면체의 정의
정의
$n$개의 선형 독립인 벡터 $y_{1},\ \cdots,\ y_{n} \in \mathbb{R}^n$가 주어졌다고 하자. 그러면 아래와 같은 집합 $P$를 패럴렐러파입트parallelepiped라고 한다.
$$ P = \left\{ \sum \limits_{j=1}^{n} \lambda_{j} y_{j} \ \ \Big| \quad 0\le \lambda_{j} \le 1 \right\} $$
설명
위와 같이 정의하면 원점을 꼭짓점vertex으로 가지게 된다. 쉽게 말해서 계수가 1이하로 구성된 모든 선형 결합의 집합이다.
$n=3$인 경우에는 평행육면체가 되고 $n=2$인 경우에는 평행사변형이된다.
그림에서 보이는 평행사변형(평행육면체)의 경계와 내부의 모든 점의 집합이 위에서 정의한 $P$와 같다.
또한 $x\in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 $x+P$는 $P$를 평행이동한 집합이 되고 $x+P$는 $x$를 꼭짓점 중의 하나로 가진다.
$P$의 중심center을 $c(P)$라고 나타내자. 그러면 다음이 성립한다.
$$ c(P)=\frac{1}{2}\left(y_{1}+\cdots+y_{n} \right) $$
2차원에서 평행사변형의 경우를 떠올려보면 바로 납득될 것이다. $x$만큼 평행이동 한 경우에는 다음과 같다.
$$ c(x+P)=x+\frac{1}{2}\left( y_{1} + \cdots y_{n} \right) $$