📂동역학

동역학에서 고정점의 쌍곡성

정의 ¹

공간 $\mathbb{R}^{p}$ 와 스무스한 함수 $f , g : \mathbb{R}^{p} \to \mathbb{R}^{p}$ 에 대해 동역학계가 다음과 같이 벡터필드 혹은 맵으로 표현된다고 하자. $$\dot{x} = f(x) \\ x \mapsto g(x)$$ 이들의 고정점 $\overline{x}$ 에서 얻은 자코비안 행렬의 아이겐 밸류를 $\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{p}$ 이라 나타내자.

1. 벡터필드 $f$ 이냐, 맵 $g$ 이냐에 따라 세 승수^multiplier $n_{-}, n_{0}, n_{+}$ 를 다음과 같이 정의한다. $$f: \begin{align*} n_{-} =& \operatorname{card} \left\{ k : \operatorname{Re} \lambda_{k} < 0 \right\} \\ n_{0} =& \operatorname{card} \left\{ k : \operatorname{Re} \lambda_{k} = 0 \right\} \\ n_{+} =& \operatorname{card} \left\{ k : \operatorname{Re} \lambda_{k} > 0 \right\} \end{align*}$$ $$g: \begin{align*} n_{-} =& \operatorname{card} \left\{ k : \left| \lambda_{k} \right| < 1 \right\} \\ n_{0} =& \operatorname{card} \left\{ k : \left| \lambda_{k} \right| = 1 \right\} \\ n_{+} =& \operatorname{card} \left\{ k : \left| \lambda_{k} \right| > 1 \right\} \end{align*}$$ 여기서 $\operatorname{Re}$ 는 복소수의 실수부, $\left| \cdot \right|$ 은 복소수의 모듈러스, $\operatorname{card}$ 는 집합의 기수를 의미한다.
2. $n_{0} = 0$ 이면 고정점 $\overline{x}$ 가 하이퍼볼릭^hyperbolic하다고 말한다.
3. $n_{-} n_{+} \ne 0$ 이면 그 하이퍼볼릭 고정점을 하이퍼볼릭 새들^saddle이라 부른다.

설명

연속적인 시스템에서는 $\lambda_{k}$ 의 실수부를 $0$ 과 비교하고, 이산적인 시스템에서는 $\lambda_{k}$ 의 크기를 $1$ 과 비교하는 것에 주의하도록 하자.

시각적으로 이해하기 편하게 2차원에서 하이퍼볼릭 고정점의 전형적인 페이즈 포트레이트를 살펴보면 다음과 같다.

이처럼 하이퍼볼릭 고정점은 복소수인 고유값만 보아도 대략 어떤 성질을 가질지 짐작할 수 있고, 많은 경우 ‘비교적 파악하기 쉬운 점’ 혹은 ‘특징이 없고 포괄적인^generic’ 점으로 본다.

• 고유값이 실수가 아니라 복소수라는 것은 주변의 궤적에 회전이 있음을 암시한다.
• 모든 고유값이 복소평면의 왼쪽에 위치한다는 것은 주변의 점들이 고정점에 가까워짐을 암시한다.
• 모든 고유값이 복소평면의 오른쪽에 위치한다는 것은 주변의 점들이 고정점에서 멀어짐을 암시한다.
• 모든 고유값이 복소평면의 왼쪽이나 오른쪽 중 한 쪽에만 위치하지 않는다는 것은 안정 매니폴드와 불안정 매니폴드를 적어도 하나씩 가진다는 의미이므로, 새들이 된다.

위에서 다루지 않은 예로써 실수부가 $0$, 다시 말해 모든 $\lambda_{k}$ 가 순허수라면 주변의 점이 가까워지거나 멀어지지 않는다는 것이고 그 고정점은 하이퍼볼릭이 아니라 일립틱^elliptic하다고 말하고 센터라 부른다.

같이보기

• 고정점의 쌍곡성
• 리미트사이클의 쌍곡성