📂정수론

가우시안 링의 놈

정리 ¹

가우시안 링 $\mathbb{Z}[i]$ 에 대해 함수 $N : \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}$ 를 생각해보자.

• [1]: $N(x + iy) := x^2 + y^2$ 이라고 정의하면 $N$ 은 $\mathbb{Z}[i]$ 의 승법적 놈이 된다.
• [2]: $\mathbb{Z}[i]$ 은 유클리디안 도메인이다.
• [3]: $\mathbb{Z}[i]$ 의 유닛은 $1,-1,i,-i$ 뿐이다.

설명

가우스 정수는 추상대수의 도움을 받으면 훨씬 편하게 연구할 수 있다. 인티그럴 도메인에서 정의되는 놈 $N$ 으로 [2] 를 증명하면 ED가 UFD 이므로 가우스 소수로 확장된 산술의 기본정리가 곧바로 증명되는 것이나 마찬가지다. 이는 대수적으로 산술의 기본정리를 $\mathbb{Z}$ 가 UFD라고 설명하는 것과 비슷하다.

증명

[1]

승법적 놈의 정의:

• (i): $N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$
• (ii): $N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )$

$N$ 이 승법적 놈이 되고 $\mathbb{Z}[i]$ 가 실제로 ID가 됨을 보이면 된다. 당장은 놈이 정의되어야하는 정리가 필요하지 않므로 ID인 것을 먼저 보일 필요는 없다. $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $\alpha := a + ib$, $\beta := c + id$ 라고 하자.

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Part (i). $N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$

$$N(\alpha) = a^2 + b^2 = 0 \iff a = b = 0 \iff \alpha = a + ib = 0$$

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Part (ii). $N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )$

가우스 정수끼리의 곱은 $( a + ib )( c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc)$ 와 같이 계산되므로 $$\begin{align*} N ( \alpha \beta ) =& N(ac - bd + i (ad + bc)) \\ =& a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 \\ =& (a^2 + c^2) (b^2 + d^2) \\ =& N ( \alpha ) N ( \beta ) \end{align*}$$

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Part 3.$Z[i]$ 는 ID

$\alpha$, $\beta$ 가 $0 \in \mathbb{Z}[i]$ 이 아니면서 $\alpha \beta = 0$ 이라고 가정하자. 그러면 Part (i), (ii)에 따라 $$N(\alpha) N(\beta) = N(\alpha \beta ) = N(0) = 0$$ 이다. $N(\alpha)$, $N(\beta)$ 는 인티그럴 도메인 $\mathbb{Z}$ 의 원소이므로 $N(\alpha) N(\beta) = 0$ 을 만족시키려면 $N(\alpha)$ 와 $N(\beta)$ 둘 중 하나는 $0$ 이어야하는데, 이는 가정에 모순이므로 $Z[i]$ 역시 인티그럴 도메인이다.

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[2]

유클리디안 놈의 정의:

• (i): 모든 $a,b \in D (b \ne 0 )$ 에 대해 $a = bq + r$ 을 만족하는 $q$ 와 $r$ 이 존재한다. 이 때 $r = 0$ 이거나 $\nu (r) < \nu (b)$ 둘 중 하나여야한다.
• (ii): 모든 $a,b \in D (b \ne 0 )$ 에 대해 $\nu ( a ) \le \nu ( ab )$

$\nu := N$ 이라고 두고 $N$ 이 $\mathbb{Z}[i]$ 의 유클리디안 놈이 됨을 보이면 된다. $\beta \ne 0$ 이라고 하자.

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Part (i). $\exists \sigma, \rho : \alpha = \beta \sigma + \rho$

어떤 $r, s \in \mathbb{Q}$ 에 대해 $\displaystyle {{ \alpha } \over { \beta }} = r + is$ 라고 하자. 이 $r, s$ 에 가능한 한 가까운 정수 $q_{1} , q_{2} \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $\sigma$ 와 $\rho$ 를 다음과 같이 두자. $$\sigma := q_{1} + i q_{2} \\ \rho := \alpha - \beta \sigma$$

• Case 1. $\rho = 0$
  $\alpha = \beta \sigma$ 이므로 더 이상 보여야 할 것이 없다. $\displaystyle \sigma = {{ \alpha } \over { \beta }} = q_{1} + i q_{2}$ 와 $\rho = 0$ 를 찾았다.
• Case 2. $N ( \rho ) < N ( \beta )$
  $q_{1}$ 와 $q_{2}$ 의 정의에 따라 $$| r - q_{1} | \le {{1} \over {2}} \\ | s - q_{2} | \le {{1} \over {2}}$$ 이므로 $$\begin{align*} N \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) =& N \left[ (r + is) - (q_{1} + i q_{2}) \right] \\ =& N \left[ (r - q_{1} ) + i ( s - q_{2}) \right] \\ \le & \left( {{1} \over {2}} \right)^2 + \left( {{1} \over {2}} \right)^2 \\ =& {{1} \over {2}} \end{align*}$$ 이에 따라 $$\begin{align*} N ( \rho ) =& N(\alpha - \beta \sigma ) \\ =& N \left( \beta \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) \right) \\ =& N (\beta) N \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) \\ \le & N(\beta) {{1} \over {2}} \\ \le & N (\beta) \end{align*}$$ 따라서 $\rho = 0$ 이나 $N(\rho) \le N (\beta)$ 를 만족하도록 하는 $\rho$, $\sigma$ 가 존재함을 보장할 수 있다.

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Part (ii). $N ( \alpha ) \ge N ( \alpha ) N ( \beta )$

$\beta \ne 0 \implies N ( \beta ) \ge 1$ 이므로 $$\begin{align*} N ( \alpha ) \le & N ( \alpha) \cdot 1 \\ \le & N(\alpha) N(\beta) \\ =& N ( \alpha \beta ) \end{align*}$$

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[3]

승법적 놈의 성질에 따라 $N(1) = 1$ 이고 $u \in \mathbb{Z}[i]$ 가 유닛이면 $| N ( u ) | = 1$ 이므로, 대우법에 따라 $| N(u) | = 1$ 이 아니면 $u$ 은 유닛이 아니다. $u := x + iy$ 에 대해 $N(u) = x^2 + y^2 = 1$ 을 만족하는 경우는 $u \in \left\{ 1, -1, i, -i \right\}$ 일 때 뿐이다.

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