📂전자기학

전위와 전자기장

개요¹

시간에 따라 전하, 전류분포가 변할 때의 전기장 및 자기장은 다음과 같다.

$$ \mathbf{E}= -\nabla V-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $$

$$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} $$

$V$는 스칼라 전위, $\mathbf{A}$는 벡터 전위이다.

설명

전하밀도 $\rho (\mathbf{r}, t)$와 전류밀도 $\mathbf{J}(\mathbf{r},t)$가 일정하면¹ 를 알 때 쿨롱 법칙과 비오-사바르 법칙을 통해서 전기장 $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$와 자기장 $\mathbf{B}(\mathbf{r},t)$를 구할 수 있다. 전하와 전류가 시간에 따라 변하면 이를 구하는 것은 조금 더 어렵다.

정전기학에서는 $\nabla\times \ \mathbf{E}=0$이고 기울기의 회전은 $0$이므로 $\mathbf{E}=-\nabla V$로 나타낼 수 있었다. 그러나 전기역학에서는 $\nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$이므로 정전기학에서와 같이 스칼라 전위의 기울기로 나타낼 수 없다. 하지만 여전히 자기장의 발산은 $0$이고 회전의 발산은 $0$이므로 정자기학에서와 마찬가지로 자기장을 벡터 전위의 회전으로 나타낼 수 있다.

$$ \begin{equation} \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \end{equation} $$

이를 패러데이 법칙에 대입하면

$$ \begin{align*} && \nabla \times \mathbf{E} &= -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \implies && \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \mathbf{A}) \\ \implies && \nabla \times \mathbf{E} &= -(\nabla \times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}) \\ \implies && \nabla \times \left( \mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) &= 0 \end{align*} $$

따라서 $\mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$의 회전이 $0$이므로 스칼라 전위의 기울기로 나타낼 수 있다.

$$ \begin{align} && \mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} &= -\nabla V \nonumber \\ \implies && \mathbf{E} &= -\nabla V-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \end{align} $$

맥스웰 방정식

$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \tag{a} \\[1em] \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \tag{b} \\[1em] \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{c} \\[1em] \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{d} \end{align} $$

$\mathbf{A}$가 상수이면 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}=0$이고 정전기학에서의 결과와 같다. $(2)$를 가우스 법칙 $(a)$에 대입하면

$$ \begin{align} && \nabla \cdot ( \nabla V) +\nabla \cdot \left( \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right) &= -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho \nonumber \\ \implies && \nabla ^2 V +\dfrac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{A}) &= -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho \end{align} $$

또한 $(1)$, $(3)$ 을 앙페르 법칙 $(d)$에 대입하면

$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\mu_{0} \mathbf{J}-\mu_{0}\epsilon_{0} \nabla\left( \dfrac{\partial V}{\partial t}\right)-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} $$

이때 컬의 컬은 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla ( \nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla ^2 \mathbf{A}$이므로 위의 식은 다음과 같다.

$$ \begin{align} && \nabla ( \nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla ^2 \mathbf{A} = \mu_{0} \mathbf{J}-\mu_{0}\epsilon_{0} \nabla\left( \dfrac{\partial V}{\partial t}\right)-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} \nonumber \\ \implies && \left( \nabla ^2 \mathbf{A}-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} \right) -\nabla\left( \nabla \cdot \mathbf{A} +\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial V}{\partial t}\right) = -\mu_{0} \mathbf{J} \end{align} $$

즉 4개의 맥스웰 방정식에 대한 정보가 $(3)$, $(4)$에 모두 들어있다.