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전위와 전자기장 📂전자기학

전위와 전자기장

개요1

시간에 따라 전하, 전류분포가 변할 때의 전기장 및 자기장은 다음과 같다.

E=−∇V−∂A∂t \mathbf{E}= -\nabla V-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}

B=∇×A \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

VV는 스칼라 전위, A\mathbf{A}는 벡터 전위이다.

설명

전하밀도 ρ(r,t)\rho (\mathbf{r}, t)와 전류밀도 J(r,t)\mathbf{J}(\mathbf{r},t)가 일정하면1 를 알 때 쿨롱 법칙과 비오-사바르 법칙을 통해서 전기장 E(r,t)\mathbf{E}(\mathbf{r},t)와 자기장 B(r,t)\mathbf{B}(\mathbf{r},t)를 구할 수 있다. 전하와 전류가 시간에 따라 변하면 이를 구하는 것은 조금 더 어렵다.

정전기학에서는 ∇× E=0\nabla\times \ \mathbf{E}=0이고 기울기의 회전은 00이므로 E=−∇V\mathbf{E}=-\nabla V로 나타낼 수 있었다. 그러나 전기역학에서는 ∇×E=−∂B∂t\nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}이므로 정전기학에서와 같이 스칼라 전위의 기울기로 나타낼 수 없다. 하지만 여전히 자기장의 발산은 00이고 회전의 발산은 00이므로 정자기학에서와 마찬가지로 자기장을 벡터 전위의 회전으로 나타낼 수 있다.

B=∇×A \begin{equation} \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \end{equation}

이를 패러데이 법칙에 대입하면

∇×E=−∂B∂t  ⟹  ∇×E=−∂∂t(∇×A)  ⟹  ∇×E=−(∇×∂A∂t)  ⟹  ∇×(E+∂A∂t)=0 \begin{align*} && \nabla \times \mathbf{E} &= -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \implies && \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \mathbf{A}) \\ \implies && \nabla \times \mathbf{E} &= -(\nabla \times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}) \\ \implies && \nabla \times \left( \mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) &= 0 \end{align*}

따라서 E+∂A∂t\mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}의 회전이 00이므로 스칼라 전위의 기울기로 나타낼 수 있다.

E+∂A∂t=−∇V  ⟹  E=−∇V−∂A∂t \begin{align} && \mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} &= -\nabla V \nonumber \\ \implies && \mathbf{E} &= -\nabla V-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \end{align}

맥스웰 방정식

∇⋅E=0∇⋅B=0∇×E=−∂B∂t∇×B=μ0ϵ0∂E∂t \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \tag{a} \\[1em] \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \tag{b} \\[1em] \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{c} \\[1em] \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{d} \end{align}

A\mathbf{A}가 상수이면 B=∇×A=0\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}=0이고 정전기학에서의 결과와 같다. (2)(2)를 가우스 법칙 (a)(a)에 대입하면

∇⋅(∇V)+∇⋅(∂A∂t)=−1ϵ0ρ  ⟹  ∇2V+∂∂t(∇⋅A)=−1ϵ0ρ \begin{align} && \nabla \cdot ( \nabla V) +\nabla \cdot \left( \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right) &= -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho \nonumber \\ \implies && \nabla ^2 V +\dfrac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{A}) &= -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho \end{align}

또한 (1)(1), (3)(3) 을 앙페르 법칙 (d)(d)에 대입하면

∇×(∇×A)=μ0J−μ0ϵ0∇(∂V∂t)−μ0ϵ0∂2A∂t2 \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\mu_{0} \mathbf{J}-\mu_{0}\epsilon_{0} \nabla\left( \dfrac{\partial V}{\partial t}\right)-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2}

이때 컬의 컬은 ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla ( \nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla ^2 \mathbf{A}이므로 위의 식은 다음과 같다.

∇(∇⋅A)−∇2A=μ0J−μ0ϵ0∇(∂V∂t)−μ0ϵ0∂2A∂t2  ⟹  (∇2A−μ0ϵ0∂2A∂t2)−∇(∇⋅A+μ0ϵ0∂V∂t)=−μ0J \begin{align} && \nabla ( \nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla ^2 \mathbf{A} = \mu_{0} \mathbf{J}-\mu_{0}\epsilon_{0} \nabla\left( \dfrac{\partial V}{\partial t}\right)-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} \nonumber \\ \implies && \left( \nabla ^2 \mathbf{A}-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} \right) -\nabla\left( \nabla \cdot \mathbf{A} +\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial V}{\partial t}\right) = -\mu_{0} \mathbf{J} \end{align}

즉 4개의 맥스웰 방정식에 대한 정보가 (3)(3), (4)(4)에 모두 들어있다.

  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p471-472 ↩︎ ↩︎