유한 우물 퍼텐셜 사각형 우물 퍼텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식의 풀이
개요
퍼텐셜이 위 그림과 같이 유한한 사각 우물 모양일 때 입자가 어떻게 운동하는지 알아보자. 퍼텐셜 $U$는
$$ U(x) = \begin{cases} 0 & x<-a \\ U_{0} & -a < x <a \\ 0 &a<x \end{cases} $$
퍼텐셜이 $U(x)$일 때의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은
$$ \dfrac{d^2 u(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar ^2} \Big[ E-U(x) \Big]u(x)=0 $$
풀이
$E<-U_{0}$
에너지가 퍼텐셜보다 작으면 해가 존재하지 않으므로 고려할 필요 없다.
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$-U_{0} < E < 0$
Part 2-1. $x<-a$
이 영역에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 $$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0 $$ $\frac{2m}{\hbar^2}E$가 음수이므로 $-\kappa ^2$으로 치환하면 $$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}-\kappa^2u=0 $$ 이는 아주 간단한 2계 상미분 방정식이다. 미분 방정식을 풀면 그 해는 $$ u_{1}(x)=A_{+}e^{\kappa x} + A_{-}e^{-\kappa x} $$ 이때 파동함수는 제곱적분가능해야하므로 $A_{-}=0$이다.
Part 2-2. $-a<x<a$
이 영역에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 $$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E+U_{0})u=0 $$ $E+U_{0}>0$이므로 $\frac{2m}{\hbar^2}(E+U_{0})=k ^2$으로 치환하면 $$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}+k^2 u=0 $$ 방정식을 풀면 $$ u_{2}(x) = B_{+}e^{i k x}+B_{-}e^{-ik x} $$
Part 2-3. $a<x$
이 영역에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 $$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0 $$
Part 2-1. 의 모양과 같으므로 해는 $$ u_{3}(x)=C_{+}e^{\kappa x} + C_{-}e^{-\kappa x} $$ 이때 파동함수는 제곱적분가능해야하므로 $C_{+}=0$이다.
Part 2-4. 경계조건
파동함수는 매끄럽게 생겼다고 가정하므로 $x=-a$, $x=a$에서 연속이고 파동함수의 미분(기울기)도 $x=-a$, $x=a$에서 연속이다. 따라서 $$ \begin{cases}u_{1}(-a)=u_{2}(-a) \\ u_{2}(a)=u_{3}(a) \end{cases} \quad \implies \begin{cases} A_{+}e^{-\kappa a}+A_{-}e^{\kappa a} = B_{+}e^{-ik a}+B_{-}e^{ ik a} \quad \cdots (1) \\ B_{+}e^{ik a}+B_{-}e^{-ik a} = C_{+}e^{\kappa a}+C_{-} e^{-\kappa a} \ \quad \cdots (2) \end{cases} $$
$$ \begin{cases}u_{1}^{\prime}(-a)=u_{2}^{\prime}(-a) \\ u_{2}^{\prime}(a)=u_{3}^{\prime}(a) \end{cases} \quad \implies \begin{cases} \kappa A_{+}e^{-\kappa a}-\kappa A_{-}e^{\kappa a} = ik B_{+}e^{-ik a}-ik B_{-}e^{ik a} \quad \cdots (3) \\ ik B_{+}e^{ik a}-ik B_{-}e^{-ik a} = \kappa C_{+}e^{\kappa a}-\kappa C_{-} e^{\kappa a} \quad \cdots (4) \end{cases} $$
$(1)$, $(3)$을 행렬로 나타내면
$$ \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{ika} \\ ike^{-ika} & -ike^{ika} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{+} \\ A_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix}\quad \cdots (5) $$
$(2)$, $(4)$를 행렬로 나타내면
$$ \begin{pmatrix} e^{\kappa a} & e^{-\kappa a} \\ \kappa e^{\kappa a} & -\kappa e^{-\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{ik a} & e^{-ik a} \\ ik e^{ik a} & -ik e^{-ika } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{+} \\ 0 \end{pmatrix}\quad \cdots (6) $$