📂추상대수

인티그럴 도메인의 놈

정의 ¹

인티그럴 도메인 $D$ 와 모든 $\alpha , \beta \in D$ 에 대해 다음의 조건을 만족하는 함수 $N : D \to \mathbb{Z}$ 를 승법적 놈^{multiplicative Norm}이라 정의한다.

• (i): $N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$
• (ii): $N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )$

정리

$p \in \mathbb{Z}$ 가 소수라고 하자.

• [1]: $D$ 에서 승법적 놈 $N$ 이 정의되면 $N(1) = 1$ 이고 모든 유닛 $u \in D$ 에 대해 $| N ( u ) | = 1$
• [2]: $| N ( \alpha )| =1$ 을 만족하는 모든 $\alpha \in D$ 가 $D$ 에서 유닛이면 $| N ( \pi ) | = p$ 를 만족하는 $\pi \in D$ 는 $D$ 에서 기약원이다.

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• 유닛은 곱셈에 대한 역원을 가지는 원소다.

설명

물론 놈이라고 하면 보통 $N (\alpha) \ge 0$ 이 가정되며, $\alpha \ne 0$ 에 대해서 $\nu ( \alpha) = N ( \alpha)$ 와 같은 조건이 추가되면서 승법적 놈인 동시에 유클리드 놈이 되는 경우가 많다. 일반적으로 장담할 수는 없으나, 이 정도의 상식도 통하지 않는 대수 구조를 연구할 모티브는 흔하지 않을 것이다. 놈이 정의되었다면 거의 확실히 $N : D \to \mathbb{N}_{0}$ 이라고 보아도 무방하다.

놈의 정의는 인티그럴 도메인 $D$ 의 산술적 구조를 파악하는데에 큰 도움을 준다. 대수적 정수론에서는 도메인에 맞는 여러가지 놈을 정의하며, 언뜻 보아서는 정수론의 영역이 아닌 곳에 있는 대수 구조도 정수론의 영역으로 ‘끌어내려서’ 연구할 수 있게 만들어준다. 정수론에 바로 도입할 수 있음은 말할 것도 없다. 재미있는 예로써 정수에 복소수 $i$ 와 $\omega$ 를 첨가한 가우스 정수 $\mathbb{Z} [i]$ 와 아이젠슈타인 정수 $\mathbb{Z} [\omega]$ 를 생각해볼 수 있다.

정리 [2]에 따르면 그 $D$ 의 원소 $\pi$ 에 대해서 잘 모르더라도 $N ( \pi )$ 가 소수라는 것만으로 $\pi$ 가 $D$ 에서 기약원임을 보장한다. 알다시피 소수 $p$ 는 $\mathbb{Z}$ 에서 기약원인데, $N$ 은 조건 (ii)를 통해 기약원의 성질을 $D$ 에서 $\mathbb{Z}$ 로 보존시킨 것으로 볼 수 있다.

증명

[1]

전략: 조건 (ii)를 통해 $D$ 의 원소를 찢어버리면 자연스럽게 연역된다.

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항등원 $1 \in D$ 에 대해 $N(1)$ 을 계산해보면 승법성에 의해 $$ N(1) = N \left( 1 \cdot 1 \right) = N (1) N (1) $$ 따라서 $N(1)$ 이다. 또한 $u \in D$ 가 유닛이면 정의에 따라 그 역원 $u^{-1} \in D$ 가 존재하므로 $$ 1 = N ( 1) = N ( u u^{-1} ) = N (u ) N (u^{-1}) $$ 물론 $N (u)$ 은 정수이므로, $| N ( u) | =1$ 이어야한다.

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[2]

가정에 따라 $| N(u) | = 1$ 을 만족하는 모든 $u \in D$ 는 $D$ 의 유닛이다. $\pi \in D$ 에 대해 $| N ( \pi ) | = 1$ 이고 $\pi = \alpha \beta$ 이라고 하면 $$ p = | N ( \pi ) | = | N ( \alpha ) N ( \beta ) | $$ $p$ 는 소수이므로 $| N ( \alpha ) | = 1$ 이거나 $| N ( \beta ) | = 1$ 이어야한다. 가정에서 $\alpha$ 와 $\beta$ 둘 중 하나는 $D$ 의 유닛이므로, $\pi$ 는 $D$ 의 기약원이 된다.

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