📂해석개론

확장된 실수 체계

정의

다음과 같이 정의되는 집합을 확장된 실수 체계^{extended real number system}라 한다.

$$\overline{ \mathbb{R} } := \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty, +\infty\right\}$$

설명

해석학 등의 분야에서 종종 편의를 위해 실수 집합 $\mathbb{R}$ 대신 $\overline{ \mathbb{R} }$를 사용한다. $\pm \infty$는 숫자가 아니지만 숫자라고 퉁치고 $\mathbb{R}$에 추가하여 사용하면 편하다. 확장된 실수 체계 안에서 대소 비교와 연산 규칙은 아래와 같다.

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모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해서

$$-\infty < x <+\infty$$

$$(\pm \infty) + (\pm \infty) = \pm \infty$$

$$x + (\pm \infty)=\pm \infty+x=\pm \infty$$

$$\dfrac{x}{+\infty}=0=\dfrac{x}{-\infty}$$

$$(\pm \infty)(\pm\infty)=+ \infty$$

$$(\pm \infty)(\mp \infty)=- \infty$$

$$x(\pm \infty)=(\pm \infty)x=\begin{cases} \pm \infty & x>0 \\ 0 & x=0 \\ \mp \infty & x<0 \end{cases}$$

주의해야할 점은 $(\pm \infty)+(\mp \infty)$는 정의하지 않는다는 것이다.

정리

• $\overline{ \mathbb{R} }$은 완전 순서 집합이다.

• 주어진 $A \subset \overline{ \mathbb{R} }$에 대해서, $\sup A$와 $\inf A$가 존재한다.

• $a \in \mathbb{R}$에 대해서, $(a, +\infty]$는 $+\infty$의 근방이다.