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양자역학에서의 그람-슈미트 직교화 과정 📂양자역학

양자역학에서의 그람-슈미트 직교화 과정

정의

그램-슈미트 직교화 과정Gram-schmidt orthogonalization procedure은 서로 직교하지 않는 벡터들로부터 직교 집합을 만드는 방법을 말한다.

공식

시간에 무관한 두 1차원 파동함수 u1u_{1}, u2u_{2}가 주어졌다고 하자. 이때 u1u_{1}, u2u_{2}는 규격화되어있고, 서로 직교하지 않는다고 하자. 그러면 다음과 같은 파동함수 uu는 u1u_{1}과 직교하는 규격화된 파동함수이다.

u=(−∫u1∗u2dx)u1+u21−∣∫u1∗u2dx∣2=−⟨u1∣u2⟩u1+u21−∣⟨u1∣u2⟩∣2 \begin{align*} u &= \dfrac { \displaystyle \left(- \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right)u_{1} + u_{2}}{\displaystyle \sqrt{ 1-\left| \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right|^{2}}} \\ &= \dfrac { -\braket{u_{1} | u_{2}} u_{1} + u_{2}}{\sqrt{ 1-\left| \braket{u_{1} | u_{2}} \right|^{2}}} \\ \end{align*}

설명

u1u_{1}와 u2u_{2}로부터 u1u_{1}과 직교하는 새로운 고유함수 uu를 찾는게 목적이므로, 우선 u=c1u1+c2u2u = c_{1} u_{1} + c_{2}u_{2}라고 하자. 이제 uu가 u1u_{1}과 직교한다는 조건과 uu의 규격화 조건을 이용해서 c1c_{1}과 c2c_{2}를 구할 수 있다.

  • Part1. uu와 u1u_{1}는 직교한다.

    uu는 u1u_{1}과 수직이므로 다음이 성립한다.

    ∫uu1∗dx=∫(c1u1u1∗+c2u2u1∗)dx=∫c1u1u1∗dx+∫c2u2u1∗dx=c1+c2∫u1∗u2dx=0 \begin{align*} \int uu_{1}^{\ast} dx &= \int \left( c_{1} u_{1}u_{1}^{\ast} + c_{2}u_{2}u_{1}^{\ast}\right) dx \\ &= \int c_{1}u_{1} u_{1}^{\ast}dx + \int c_{2}u_{2}u_{1}^{\ast} dx \\ &= c_{1} + c_{2}\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \\ &= 0 \end{align*}

    따라서 다음을 얻는다.

    c1=−c2∫u1∗u2dx(1) c_{1}=-c_{2} \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \tag{1}

  • Part2. uu는 규격화된 함수이다.

    uu는 규격화된 고유 함수이므로 다음이 성립한다.

    ∫uu∗dx=∫(c1u1+c2u2)(c1u1∗+c2u2∗)dx=(c1)2∫u1u1∗dx+(c2)2∫u2u2∗dx+c1c2(∫u1∗u2dx+∫u1u2∗dx)=(c1)2+(c2)2+c1c2(∫u1∗u2dx+∫u1u2∗dx)=1 \begin{align*} \int uu^{\ast} dx &= \int (c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})(c_{1}u_{1}^{\ast}+c_{2}u_{2}^{\ast})dx \\ &= (c_{1})^{2} \int u_{1}u_{1}^{\ast} dx + (c_{2})^{2} \int u_{2}u_{2}^{\ast} dx + c_{1}c_{2} \left( \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx + \int u_{1}u_{2}^{\ast}dx \right) \\ &= (c_{1})^{2} + (c_{2})^{2} + c_{1}c_{2} \left( \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx + \int u_{1}u_{2}^{\ast}dx \right) \\ &=1 \end{align*}

    마지막 등식에 (1)(1)을 대입하면 아래와 같다.

    (c2)2(∫u1∗u2dx)2+(c2)2−(c2)2(∫u1∗u2dx)2−(c2)2∫u1∗u2dx∫u1u2∗dx=1 (c_{2})^{2} \left( \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right)^{2} + (c_{2})^{2} -(c_{2})^{2} \left( \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx\right)^{2} -(c_{2})^{2} \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \int u_{1}u_{2}^{\ast} dx =1

      ⟹  (c2)2−(c2)2∫u1∗u2dx∫u1u2∗dx=1 \implies (c_{2})^{2} -(c_{2})^{2} \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \int u_{1}u_{2}^{\ast} dx =1

      ⟹  (c2)2(1−∣∫u1∗u2dx∣2)=1 \implies (c_{2})^{2} \left( 1- \left| \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \right |^{2} \right)=1

      ⟹  c2=11−∣∫u1∗u2dx∣2 \implies c_{2}=\dfrac{1}{\displaystyle \sqrt{1- \left|\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \right|^{2}}}

    여기서 c2c_{2}의 부호로 ++를 택한 것은 단순히 편의를 위해서이며 −-를 택해도 상관없다. 이를 (1)(1)에 대입하면 c1c_{1}을 얻는다.

    c1=−∫u1∗u2dx1−∣∫u1∗u2dx∣2 c_{1} = \dfrac{\displaystyle -\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx }{\displaystyle \sqrt{1- \left|\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \right|^{2}}}

따라서 u1u_{1}과 수직이면서 규격화된 함수 uu는 다음과 같다.

u=(−∫u1∗u2dx)u1+u21−∣∫u1∗u2dx∣2 u = \dfrac {\displaystyle \left(- \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right)u_{1} + u_{2}}{\displaystyle \sqrt{ 1-\left| \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right|^{2}}}

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