📂르벡공간

엘피 공간에 대한 리즈 표현 정리

정리¹

${L}^{\ p}$공간에 대한 리즈 표현 정리

$1<p<\infty$이고 $L\in \big( {L}^{\ p} \big)^{\ast}$라고 하자. 이때 $({L}^{\ p})^{\ast}$는 ${L}^{\ p}$ 공간의 듀얼이다. 그러면 모든 $u\in {L}^{\ p}$에 대해서 아래의 식을 만족하는 $v \in {L}^{\ p^{\prime}}$가 존재한다.

$$ L(u)=L_{v}(u)=\int_{\Omega} u(x)v(x)dx $$

설명

$p=1$인 경우를 포함하지 않음에 주의하라.

$\left\| v \right\|_{p^{\prime}} =\left\| L\ ; ({L}^{\ p})^{\ast}\right\|$를 만족하여 $f\ :\ ({L}^{\ p})^{\ast} \rightarrow {L}^{\ p^{\prime}}$는 등거리 사상이 된다. 따라서 $({L}^{\ p})^{\ast}\cong {L}^{\ p^{\prime}}$이므로 ${L}^{\ p^{\prime}}$를 ${L}^{\ p}$의 듀얼이라고 취급할 수 있다.

이때 $p^{\prime}$은 $p$의 켤레지수이다. 원래 리즈 표현 정리는 힐베르트 공간에 대해서 성립하는 정리이다. ${L}^{\ p}$ 공간은 일반적으로 힐베르트 공간이 아니므로 리즈 표현 정리를 그대로 적용할 수는 없다. 하지만 ${L}^{\ p}$ 공간도 리즈 표현 정리에서 말하는 것과 같은 성질을 갖고 있다고 말하는 것이 위의 정리이다. 내용을 좀 더 풀어서 설명하면 다음과 같다.

${L}^{\ p}$ 공간 위에서 정의된 임의의 선형 범함수 $L \in ({L}^{\ p})^{\ast}$이 하나 선택됐다고 하자. 그러면 이에 대응해서 유일한 $v \in {L}^{\ p^{\prime}}$가 존재한다. 그리고 다음의 식을 만족한다.

$$ L(u)=\int u(x)v(x) dx $$

다시 말해 $({L}^{\ p})^{\ast}$ 공간의 원소 $L$ 과 ${L}^{\ p^{\prime}}$공간의 원소 $v$ 가 서로 짝지어져서 $L$에 $u$를 대입한 값인 $L(u)$ 와 $v(x)$에 $u(x)$를 곱하고 적분한 값인 $\int u(x)v(x)dx$ 가 서로 같다 는 것이다. 더욱이 $({L}^{\ p})^{\ast}$와 ${L}^{\ p^{\prime}}$이 아이소메트릭이기 때문에 ${L}^{\ p^{\prime}}$ 공간을 사실상 ${L}^{\ p}$ 공간의 듀얼이라고 생각할 수 있다는 것이다. 또한 $p$와 $p^{\prime}$은 서로가 서로의 켤레지수 이므로 반대로 ${L}^{\ p}$ 공간을 사실상 ${L}^{\ p^{\prime}}$ 공간의 듀얼로 생각할 수도 있다.

리즈 표현 정리

$X$를 힐베르트 공간이라 하자. 그러면 아래의 두 문장은 서로 동치이다.

$(a)$ $x^{\ast}$는 $X$ 위에서 정의된 선형 범함수이다.

$(b)$ 모든 $y\in X$에 대해서 $x^{\ast}(y)=\langle x,\ y\rangle_{X}$를 만족하는 유일한 $x\in X$가 존재한다. 또한 $| x^{\ast}\ ; X^{\ast}|=|x\ ;X|$이다.$\langle \cdot,\ \cdot \rangle_{X}$은 $X$에서 정의된 내적이다.

리즈 표현 정리는 $X$가 힐베르트 공간일 때 $X$와 그 듀얼 $X^{\ast}$ 사이에 어떤 관계가 있는지에 대해서 알려주는 정리이다. 쉽게 말하자면 선형 범함수 $x^{\ast} \in X^{\ast}$가 주어지면 이에 대응되는 유일한 $x\in X$가 있어 모든 $y \in X$에 대해서 $x^{\ast}(y)$와 $\langle x,\ y \rangle_{X}$의 값이 같다는 뜻이다.

보조 정리

$1 < p < \infty$라고 하자.

• $(c)$ 만약 $L\in ({L}^{\ p})^{\ast}$이고 $| L\ ; ({L}^{\ p})^{\ast}|=1$이면, 유일한 $w \in {L}^{\ p}$가 존재해서 $\left\| w \right\|_{p}=L(w)=1$를 만족한다.

• $(d)$ 이와 반대로, 만약 $w \in {L}^{\ p}$이고 $\left\| w \right\|_{p}=1$이면, 유일한 $L \in ({L}^{\ p})^{\ast}$이 존재해서 $|L\ ;({L}^{\ p})^{\ast}|=L(w)=1$를 만족한다.

증명

증명의 흐름을 쉽게 설명하자면 다음과 같다. $|L|=1$라고 가정 $\implies$ 보조 정리의 $(c)$에 의해 유일한 $w$가 존재함 $\implies$ 보조 정리의 $(d)$에 의해 유일한 $L$가 존재함 $\implies$ $w$로 정의한 $v$에 대한 $L_{v}$가 $L$과 같은 성질을 만족함 $\implies$ $L$은 유일하므로 $L=L_{v}$이고, 정리의 다른 내용들 또한 성립함을 알 수 있음

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• Part 1 $L=0$

  $v=0$라고 두면 정리를 만족한다.

• Part 2 $L\ne 0$

  임의의 $L$이 $|L\ ; ({L}^{\ p})^{\ast}|=\alpha$를 만족한다고 하자. 그러면 상수 $\frac{1}{\alpha}$를 곱해서 놈이 1이 되도록 할 수 있고 $\frac{1}{\alpha}L$을 다시 $L$이라고 하자. 위 과정을 토대로 일반성을 잃지 않고 $|L\ ; ({L}^{\ p})^{\ast}|=1$라고 가정할 수 있다. 그러면 보조 정리 $(c)$에 의해서 아래의 식을 만족하는 $w \in {L}^{\ p}$가 존재한다.

  $$ \left\| w \right\|_{p}=1,\quad L(w)=1 $$

  그리고 $v$를 다음과 같이 정의하자.

  $$ v(x) = \begin{cases} |w(x)|^{p-2}\overline{w(x)}, & w(x)\ne0 \\ 0, & \mathrm{otherwise} \end{cases} $$

  그러면 $v \in {L}^{\ p^{\prime}}$임을 아래의 계산을 통해 알 수 있다.

  $$ \begin{align*} \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}} =&\ \int \left| |w(x)|^{p-2}\overline{w(x)} \right| ^{p^{\prime}} dx \\ =&\ \int |w(x)|^{(p-1)p^{\prime}} dx \\ =&\ \int |w(x)|^p dx \\ =&\ \left\| w \right\|_{p}^p =1< \infty \quad \cdots (1) \end{align*} $$

  그리고 $L_{v}$를 다음과 같이 정의하자. $|L_{v}|=L_{v}(w)=1$을 만족함을 보여 $L=L_{v}$를 보이려고 한다.

  $$ L_{v}(u)=\int u(x)v(x)dx,\quad u\in {L}^{\ p} $$

  놈 듀얼의 놈의 정의에 따라 $|L_{v}|:=\sup \left\{ |L_{v}(u)|\ :\ \| u \|_{p}\le 1\right\}$를 구해보면

  $$ \begin{align*} |L_{v}(u)| \le& \int |u(x)v(x)| dx \\ \le& \| u \|_{p}\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}=1 \end{align*} $$

  두번째 줄은 횔더 부등식에 의해, 마지막 줄은 $\left\| u \right\| \le 1$이라는 조건과 $(1)$에 의해 성립한다. 따라서 $|L_{v}\ ; ({L}^{\ p})^{\ast}|=1$이다. 또한 $L_{v}(w)=1$을 만족하는 것도 확인할 수 있다.

  $$ \begin{align*} L_{v}(w)=&\ \int |w(x)|^{p-2}\overline{w(x)}w(x) dx \\ =&\ \int |w(x)|^p dx \\ =&\ \left\| w \right\|_{p}^p=1 \end{align*} $$

  따라서 보조 정리 $(d)$에 의해 $|L|=L(w)=1$을 만족하는 $L$은 유일하므로 $L=L_{v}$이다. 그러므로 $L\in ({L}^{\ p})^{\ast}$에 대해서 유일한 $v \in {L}^{\ p^{\prime}}$가 존재하여

  $$ L(u)=L_{v}(u)=\int u(x)v(x)dx $$

  를 만족하고 $\left\| v \right\|_{p^{\prime}}=|L; ({L}^{\ p})^{\ast}|$이다.

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