📂해석개론

실수 공간에서 정의된 함수의 미분

정의¹

$a$ 를 포함하는 어떤 $E$ 에서 $f$ 가 정의되어있고 극한

$$ f^{\prime} (a) := \lim_{h \to 0} {{ f (a + h ) - f(a) } \over { h }}=\lim \limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

이 존재하면 $f$ 가 $a$ 에서 미분가능^{differentiable}하다고 하고, $f^{\prime} (a)$ 를 $a$ 에서 $f$ 의 미분계수라 한다.

모든 점 $a \in E$에 대해서 $f$가 미분가능하면, $f$가 $E$에서 미분가능하다고 한다. $f$가 $E$에서 미분가능할 때, $E$위에서 정의된 $f^{\prime}$를 $f$의 도함수^derivative라 부른다.

설명

해석학을 공부함에 있어 가장 반가운 것이 바로 미분이다. 왜냐하면 수열이든 적분이든 본색을 드러내고 어려워지는 것에 비해, 미분만큼은 원래의 모습을 그대로 갖고 있기 때문이다. 중적분과 더불어 편미분이 등장하기도 하지만 여전히 다른 개념들에 비하면 쉽고 간단한 편이다. 한편 이런 미분의 정의를 굳이 ‘실수 공간’으로 한정짓고 편미분이 언급되는 것은 미분이 다차원으로 확장될 것임을 암시하기 위함이다.

정리

(a) 연속성: $f$ 가 $a \in E$ 에서 미분가능하면 $a \in E$ 에서 연속이다.

(b) 연쇄법칙: $( g \circ f)' ( a ) = g ’ ( f (a) ) f '(a)$

(c) 역함수 정리: 개구간 $E$ 에서 $f : E \to \mathbb{R}$ 이 단사 연속함수라고 하자. (i) 어떤 $a \in E$ 에 대해 $b = f(a)$ 이고 (ii): $f ' (a) \ne 0$ 이 존재하면 $f^{-1}$ 는 $a$ 에서 미분가능하고

$$ \left( f^{-1} \right)' (b) = {{ 1 } \over { f '(a) }} $$