📂통계적분석

아르마 모형의 가역성

정의 ¹

아르마 모형에 있어서 가역성을 가졌다 함은 $AR(p)$ 와 $MA(q)$ 가 서로를 표현할 수 있음을 말한다.

예시

일반적인 $ARMA ( p , q)$ 에 대한 수식전개는 아니지만, $AR(1)$ 과 $MA(1)$ 의 예를 살펴보자.

자기회귀모형 $AR(1) \implies MA( \infty )$

$| \phi | < 1$ 에 대해서 다음의 자기회귀모형 $AR(1)$ 을 생각해보자. $$ Y_{t} = \phi Y_{t-1} + e_{t} $$ $Y_{t-1}$ 역시 $Y_{t-1} = \phi Y_{t-2} + e_{t-1}$ 와 같이 나타낼 수 있으므로 $$ \begin{align*} Y_{t} =& \phi ( \phi Y_{t-2} + e_{t-1} ) + e_{t} \\ =& \phi^2 Y_{t-2} + e_{t} + \phi e_{t-1} \\ =& \phi^2 ( \phi Y_{t-3} + e_{t-2} ) + e_{t} + \phi e_{t-1} \\ =& \phi^3 Y_{t-3} + e_{t} + \phi e_{t-1} + \phi^2 e_{t-2} \end{align*} $$ 위의 과정을 재귀적으로 무한히 반복하면 $\displaystyle \lim_{q \to \infty} \phi^{q} = 0$ 이므로 $$ Y_{t} = e_{t} + \phi e_{t-1} + \phi^2 e_{t-2} + \cdots $$ 다시 말해, $AR(1) \implies MA( \infty )$ 이다.

이동평균모형 $MA(1) \implies AR( \infty )$

$| \theta | < 1$ 에 대해서 다음의 이동평균모형 $MA(1)$ 을 생각해보자. $$ Y_{t} = e_{t} - \theta e_{t-1} $$ $e_{t-1}$ 는 $e_{t-1} = Y_{t-1} + \theta e_{t-2}$ 와 같이 나타낼 수 있으므로 $$ \begin{align*} e_{t} =& Y_{t} + \theta ( Y_{t-1} + \theta e_{t-2}) \\ =& Y_{t} + \theta Y_{t-1} + \theta^2 e_{t-2} \\ =& Y_{t} + \theta Y_{t-1} + \theta^2 ( Y_{t-2} + \theta e_{t-3}) \\ =& Y_{t} + \theta Y_{t-1} + \theta^2 Y_{t-2} + \theta^3 e_{t-3} \end{align*} $$ 위의 과정을 재귀적으로 무한히 반복하면 $\displaystyle \lim_{p \to \infty} \theta^{p} = 0$ 이므로 $$ Y_{t} = e_{t} - \theta Y_{t-1} - \theta^2 Y_{t-2} - \cdots $$ 다시 말해, $MA(1) \implies AR( \infty )$ 이다.

요약

이러한 전개에 따르면 아르마 모형은 사실 자기회귀모형으로 표현할 수 있으며, 아리마 모형은 차분이 포함된 아르마 모형에 지나지 않으므로 아리마 모형 자체가 자기회귀모형으로 나타날 수 있음을 의미한다. $MA ( \infty )$ 가 아니라 굳이 $AR ( \infty )$ 를 생각하는 이유는 현실에서 우리가 구할 수 있는 시계열 데이터가 $y_{1} , \cdots , y_{t}$ 기 때문이다. 이 때문에 시계열 관련 패키지의 함수에도 ‘ar’만이 붙은 경우가 제법 있다.

사실 가역성 자체가 시계열 분석을 할 때 아주 중요한 조건이라고는 할 수 없지만, 이러한 수식을 아느냐 모르느냐는 모델을 이해하고 진단함에 있어 필수적이다. $$ Y_{t} = e_{t} - \theta e_{t-1} $$

$$ Y_{t} = e_{t} - \theta Y_{t-1} - \theta^2 Y_{t-2} - \cdots $$ 위 식이 아래 식으로 표현된다는 것은 특히 주목할만한 점이다. 언뜻 보기에 $Y_{t}$ 는 바로 앞의 백색 잡음에게만 영향을 받는 것으로 보이지만, 실제로는 그 전의 데이터들을 모두 반영하고 있다는 것을 수식으로 보인 것이기 때문이다.