함수의 균등연속
📂해석개론 함수의 균등연속 정의 공집합 이 아닌 E ⊂ R E \subset \mathbb{R} E ⊂ R f : E → R f : E \to \mathbb{R} f : E → R ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0
∣ x 1 − x 2 ∣ < δ ∧ x 1 , x 2 ∈ E ⟹ ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ε
| x_{1} - x_{2} | < \delta \land x_{1} , x_{2} \in E \implies | f(x_{1}) - f(x_{2}) | < \varepsilon
∣ x 1 − x 2 ∣ < δ ∧ x 1 , x 2 ∈ E ⟹ ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ε
을 만족하는 δ > 0 \delta>0 δ > 0 f f f E E E 균등연속 uniformly continuous 이라 한다.
∧ \land ∧ 논리곱 기호다.설명 함수의 연속성 그 자체는 a ∈ E a \in E a ∈ E E E E f ( x ) : = x 2 f (x) := x^2 f ( x ) := x 2
공집합 이 아닌 E ⊂ R E \subset \mathbb{R} E ⊂ R f : E → R f : E \to \mathbb{R} f : E → R
(a) 컴팩트 거리공간 : f f f E E E f f f
(b) 수렴성 보존: f f f { x n } n = 1 ∞ \left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty} { x n } n = 1 ∞ 코시 면 { f ( x n ) } \left\{ f(x_{n}) \right\} { f ( x n ) }
(1) E = ( 0 , 1 ) E = (0,1) E = ( 0 , 1 ) δ = ε 2 \delta = \dfrac{\varepsilon}{2} δ = 2 ε x 1 , x 2 ∈ ( 0 , 1 ) x_{1} , x_{2} \in (0,1) x 1 , x 2 ∈ ( 0 , 1 ) ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ | x_{1} - x_{2} | < \delta ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ
∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ = ∣ x 1 2 − x 2 2 ∣ = ∣ x 1 − x 2 ∣ ∣ x 1 + x 2 ∣ ≤ 2 ∣ x 1 − x 2 ∣ < 2 δ = ε
\begin{align*}
| f(x_{1}) - f(x_{2}) | =& | x_{1}^{2} - x_{2}^{2} |
\\ =& | x_{1} - x_{2} | | x_{1} + x_{2} |
\\ \le & 2 | x_{1} - x_{2} |
\\ & < & 2 \delta
\\ =& \varepsilon
\end{align*}
∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ = = ≤ = ∣ x 1 2 − x 2 2 ∣ ∣ x 1 − x 2 ∣∣ x 1 + x 2 ∣ 2∣ x 1 − x 2 ∣ < ε 2 δ
정의에 따라 f f f E = ( 0 , 1 ) E = ( 0 , 1 ) E = ( 0 , 1 )
(2) E = R E = \mathbb{R} E = R f f f E E E ε = 1 \varepsilon = 1 ε = 1
∣ x 1 − x 2 ∣ < δ ∧ x 1 , x 2 ∈ E ⟹ ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < 1
| x_{1} - x_{2} | < \delta \land x_{1} , x_{2} \in E \implies | f(x_{1}) - f(x_{2}) | < 1
∣ x 1 − x 2 ∣ < δ ∧ x 1 , x 2 ∈ E ⟹ ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < 1
를 만족하는 δ \delta δ 아르키메데스 원리 에 따라 n δ > 1 n \delta > 1 n δ > 1 n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N x 1 = n x_{1} = n x 1 = n x 2 = ( n + δ 2 ) x_{2} = \left( n + \dfrac{ \delta }{2} \right) x 2 = ( n + 2 δ )
1 < n δ < n δ + δ 2 4 = ∣ n 2 − ( n + δ 2 ) 2 ∣ = ∣ f ( n ) − f ( n + δ 2 ) ∣ = ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < 1
\begin{align*}
1 & < & n \delta
\\ <& n \delta + {{ \delta^{2} } \over { 4 }}
\\ =& \left| n^2 - \left( n + {{ \delta } \over {2}} \right)^2 \right|
\\ =& \left| f( n ) - f \left( n + {{ \delta } \over {2}} \right) \right|
\\ =& | f (x_{1} ) - f ( x_{2} ) |
\\ <& 1
\end{align*}
1 < = = = < < n δ + 4 δ 2 n 2 − ( n + 2 δ ) 2 f ( n ) − f ( n + 2 δ ) ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ 1 n δ
정리하면 1 < 1 1 < 1 1 < 1 f f f E = R E = \mathbb{R} E = R
한편 g ( x ) = x g(x) = x g ( x ) = x E E E δ = ε \delta = \varepsilon δ = ε g g g x x x f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2
(b) 에서 균등연속이 가정되지 않고 연속함수이기만 한 경우를 생각해보자.
h ( x ) : = 1 x \displaystyle h(x) := {{1} \over {x}} h ( x ) := x 1 연속함수 고, x n : = 1 n \displaystyle x_{n} := {{1} \over {n}} x n := n 1 { x n } \left\{ x_{n} \right\} { x n } 0 0 0 h ( x n ) = 1 1 n = n \displaystyle h (x_{n} ) = {{1} \over { {{1} \over {n}} }} = n h ( x n ) = n 1 1 = n { h ( x n ) } \left\{ h ( x_{n} ) \right\} { h ( x n ) }
