베셀 방정식의 유도
정의
다음의 미분방정식을 $\nu$차 베셀 방정식Bessel’s equation of order $\nu$이라 한다.
$$ \begin{align*} x^2 y^{\prime \prime} +xy^{\prime} +(x^2-\nu^2)y =&\ 0 \\ x(xy^{\prime})^{\prime} + (x^2- \nu ^2) y =&\ 0 \\ y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime} + \left( 1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}} \right)y =&\ 0 \end{align*} $$
설명
베셀 방정식의 해를 베셀 함수Bessel function라 한다.
베셀 함수는 물리학, 공학 등에서 많이 볼 수 있으며, 특히나 원통 대칭이 있는 문제에서 쓰인다. 이런 이유로 베셀 함수는 실린더 함수cylinder function라는 이름도 갖고 있으나 잘 쓰이지 않는다.
유도
2차원 극좌표에서 파동 방정식은 다음과 같이 주어진다.
$$ \begin{equation} \dfrac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \dfrac{\partial ^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\dfrac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2} \dfrac{\partial ^2 u}{\partial \theta ^2}\right) \end{equation} $$
$c$는 상수이다. 위 방정식의 해 $u$를 변수 분리 가능한 함수라고 가정하자.
$$ u(t, r, \theta)=T(t)R(r)\Theta (\theta) $$
$(1)$에 대입하면
$$ T^{\prime \prime}R\Theta=c^2\left( TR^{\prime \prime}\Theta + \dfrac{1}{r}TR^{\prime}\Theta + \frac{1}{r^2}TR\Theta^{\prime \prime} \right) $$
양변을 $c^2TR\Theta$로 나누면
$$ \dfrac{T^{\prime \prime}}{c^2T}=\dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{r^2\Theta} $$
좌변은 오로지 $t$에 대한 함수이고 우변은 $r$, $\theta$에 대한 함수이므로 위 식의 양변은 상수여야한다. 만약 좌변이 $t$에 대해서 상수가 아니라면 $t$ 값이 바뀌었을 때 좌변은 값이 바뀌고 우변은 값이 바뀌지 않아서 등식이 성립하지 않는다. 따라서 모든 $t$, $r$, $\theta$에 대해서 양변은 상수이다. 그 상수를 $-\mu ^2$이라고 하자. 그러면
$$ \begin{equation} \dfrac{T^{\prime \prime}}{c^2T}=\dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{r^2\Theta}=-\mu^2 \end{equation} $$
먼저 $r$, $\theta$에 대한 식부터 살펴보자.
$$ \dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{r^2\Theta}=-\mu^2 $$
양변에 $r^2$을 곱하고 $r$과 $\theta$에 대한 식을 분리해주면
$$ \dfrac{r^2R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{rR^{\prime}}{R}+r^2\mu^2=-\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{\Theta} $$
위 식의 양변 또한 앞에서 언급했던 이유와 같은 이유로 상수이다. 이 상수는 $\nu^2$이라고 하자. 그러면 아래와 같은 식을 얻는다.
$$ \begin{equation} -\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{\Theta}=\nu^2 \quad \implies \quad \Theta^{\prime \prime} =-\nu^2 \Theta \quad \end{equation} $$
그리고 다시 $(2)$로 돌아가 $t$에 대한 식을 정리하면
$$ \begin{equation} T^{\prime \prime}=-c^2\mu^2T \end{equation} $$
$(3)$과 $(4)$를 $(2)$에 대입한뒤 적절하게 식을 정리하면 아래와 같다.
$$ \begin{align*} &&\dfrac{-c^2 \mu^2 T}{c^2T}=\dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\frac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{-\nu^2\Theta}{r^2\Theta} \\ \implies &&\frac{1}{R}R^{\prime \prime}+\dfrac{1}{rR}R^{\prime}+\left(\mu^2-\frac{\nu^2}{r^2}\right) =0 \\ \implies && r^2R^{\prime \prime}(r)+rR^{\prime}(r)+(\mu^2r^2-\nu^2)R(r)=0 \end{align*} $$
이제 $\mu r=x$라고 치환하자. 그리고 다음과 같이 두자.
$$ R(r)=f(\mu r)=f(x),\quad R^{\prime}(r)=\mu f^{\prime}(\mu r)=\mu f^{\prime}(x),\quad R^{\prime \prime}(r)=\mu^2 f^{\prime \prime}(\mu r)=\mu^2 f^{\prime \prime}(x) $$
이 식들을 위에서 얻은 식에 대입하면
$$ \begin{align*} && \frac{x^2}{\mu^2}\mu^2f^{\prime \prime}(x) + \dfrac{x}{\mu}\mu f(x)+(x^2-\nu^2)f(x)&= 0 \\ \implies && x^2f^{\prime \prime}(x) + x f(x)+(x^2-\nu^2)f(x)&= 0 \end{align*} $$
위 식을 $\nu$차 베셀 방정식이라 한다. 보통 아래와 같은 꼴로 만날 수 있다.
$$ \begin{align*} x^2 y^{\prime \prime} +xy^{\prime} +(x^2-\nu^2)y&= 0 \\ x(xy^{\prime})^{\prime}+(x^2 \nu ^2) y&= 0 \end{align*} $$
이 방정식의 첫번째 해는 아래와 같고 제1 종 베셀 함수라 부른다.
$$ J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n+\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} $$
두번째 해는 아래와 같고 제2 종 베셀 함수라 부른다.
$$ N_{\nu}(x)=Y_{\nu}(x)=\frac{\cos (\nu \pi)J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\nu\pi)} $$
따라서 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.
$$ y(x)=AJ_{\nu}(x)+BN_{\nu}(x) $$
이때 $A$, $B$는 상수이다.