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호프-락스 공식이 해밀턴-야코비 방정식을 만족함을 증명 📂편미분방정식

호프-락스 공식이 해밀턴-야코비 방정식을 만족함을 증명

정리 1

호프-락스 공식

u(x,t)=min⁡y∈Rn{tL(x−yt)+g(y)} u(x,t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) +g(y) \right\}

x∈Rnx \in \mathbb{R}^n, t>0t>0이라고 하자. 그리고 호프-락스 공식에 의해 정의된 uu가 점 (x,t)(x,t)에서 미분가능하다고 하자. 그러면 uu는 해밀턴-야코비 방정식 을 만족한다.

ut(x,t)+H(Du(x,t))=0 u_{t}(x, t) + H\big( Du(x, t) \big) =0

증명

보조정리: 호프-락스 공식의 일반화

t>0t>0라고 하자. 그러면 각각의 x∈Rnx \in \mathbb{R}^n, 0<s<t0< s< t에 대해서 다음이 성립한다.

u(x,t)=min⁡y∈Rn{(t−s)L(x−yt−s)+u(y,s)} u(x, t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ (t-s) L \left( \dfrac{x-y}{t-s} \right) +u(y, s) \right\}

s=0s=0일 때 호프-락스 공식과 같다.

  • Part 1.

    고정된 v∈Rnv \in \mathbb{R}^n, h>0h>0가 주어졌다고 하자. 그러면 보조정리에 의해서 다음이 성립한다.

    u(x+hv,t+h)=min⁡y∈Rn{hL(x+hv−yh)+u(y,t)}≤hL(v)+u(x,t) \begin{align*} u(x+hv, t+h) &= \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ hL\left( \dfrac{x+hv-y}{h} \right) +u(y, t) \right\} \\ & \le hL(v)+u(x, t) \end{align*}

    보조정리의 공식에서 tt 대신 t+ht+h를, ss 대신 tt를 대입한 것이다. 부등식이 성립하는 이유는 모든 y∈Rny \in \mathbb{R}^n에 대해서 최솟값이므로 yy자리에 임의의 xx를 대입하면 당연히 그 값은 같거나 크기 때문이다. 우변의 uu를 이항하고 hh로 나누면 다음을 얻는다.

    u(x+hv,t+h)−u(x,t)h≤L(v) \dfrac{u(x+hv, t+h)-u(x, t)}{h} \le L(v)

    이때 좌변은 아래의 식으로 바꿔 쓸 수 있다.

    u((x,t)+h(v,1))−u(x,t)h \dfrac{ u\big( (x, t)+h(v, 1) \big) -u(x, t) }{h}

    미분하기 위한 꼴로 바꿔준 것이다. h+→0h^+ \rightarrow 0인 극한을 취하면 다음을 얻는다.

    (v,1)⋅(Du(x,t),ut(x,t))≤L(v)  ⟹  v⋅Du(x,t)+ut(x,t)≤L(v)  ⟹  ut(x,t)+v⋅Du(x,t)−L(v)≤0 \begin{align} && (v, 1) \cdot \big( Du(x, t), u_{t}(x, t) \big) &\le L(v) \nonumber \\ \implies && v\cdot Du(x, t)+ u_{t}(x, t) &\le L(v) \nonumber \\ \implies && u_{t}(x, t) + v\cdot Du(x, t)- L(v) &\le 0 \label{eq1} \end{align}

    이때 위 식은 모든 v∈Rnv \in \mathbb{R}^n에 대해서 성립하고, H(p)=L∗(p)=max⁡v∈Rn{p⋅v−L(v)}H(p)=L^{\ast}(p)=\max\limits_{v \in \mathbb{R}^n} \left\{ p\cdot v-L(v) \right\}이므로, (eq1)\eqref{eq1}에 의해서 다음이 성립한다.

    ut(x,t)+H(Du(x,t))=ut(x,t)+max⁡v∈Rn{v⋅Du(x,t)−L(v)}≤0 u_{t}(x, t) + H\big( Du(x, t) \big) = u_{t}(x, t)+\max_{v \in \mathbb{R}^n} \left\{ v \cdot Du(x, t)-L(v) \right\} \le 0

  • Part 2.

    호프-락스 공식에 의해서, 고정된 xx, tt에 대해서 다음을 만족하는 z=zz,t∈Rnz=z_{z, t} \in \mathbb{R}^n가 존재한다.

    u(x,t)=tL(x−zt)+g(z) \begin{equation} u(x, t)=tL\left( \dfrac{x-z}{t} \right) + g(z) \label{eq2} \end{equation}

    모든 yy 중에서 최솟값이 되게 하는 yy를 zz라고 둔 것이다. 그리고 고정된 0<h<t0 < h <t가 있고, s=t−hs=t-h, y=stx+(1−st)zy=\dfrac{s}{t}x+\left( 1-\dfrac{s}{t} \right)z라고 하자. 그러면 아래의 식들이 성립한다.

    0<s<t,0<st<1,x−zt=y−zs \begin{equation} 0<s<t, \quad 0<\dfrac{s}{t}<1, \quad \dfrac{x-z}{t}=\dfrac{y-z}{s} \label{eq3} \end{equation}

    그러면

    u(x,t)−u(y,s)≥tL(x−zt)+g(z)−[sL(y−zs)+g(z)]=(t−s)L(x−zt) \begin{align*} u(x, t)-u(y, s) & \ge tL\left( \dfrac{x-z}{t} \right) +g(z) -\left[ sL\left(\frac{y-z}{s}\right) + g(z) \right] \\ &= (t-s)L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \end{align*}

    첫째줄은 (eq2)\eqref{eq2}와 호프-락스 공식에 의해서 성립하고, 둘째줄은 (eq3)\eqref{eq3}에 의해서 성립한다. 이때 s=t−hs=t-h이므로 다음이 성립한다.

    y=stx+(1−st)z=(1−ht)x+htz y=\dfrac{s}{t}x+\left( 1-\dfrac{s}{t} \right)z=\left( 1-\dfrac{h}{t}\right )x + \dfrac{h}{t}z

    따라서 위의 부등식은 아래와 같다.

    u(x,t)−u(y,s)=u(x,t)−u((1−ht)x+htz,t−h)≥hL(x−zt)=(t−s)L(x−zt) \begin{align*} u(x, t)-u(y, s) &= u(x, t)-u\bigg( \left( 1-\dfrac{h}{t}\right )x + \dfrac{h}{t}z, t-h \bigg) \\ & \ge & hL\left(\dfrac{x-z}{t}\right) =(t-s)L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \end{align*}

    양 변을 hh로 나누고, 좌변의 분자, 분모에 −1-1을 곱한 뒤 미분을 위한 꼴로 정리하면 다음과 같다.

    u((x,t)−h(x−zt,1))−u(x,t)−h≥L(x−zt) \dfrac{ u\left( (x, t)-h\left( \dfrac{x-z}{t}, 1 \right) \right) - u(x, t) }{-h} \ge L\left(\dfrac{x-z}{t}\right)

    위의 부등식에 h→0+h \rightarrow 0^+ 극한을 취하면 아래와 같다.

    (x−zt,1)⋅(Du(x,t),ut(x,t))=x−zt⋅Du(x,t)+ut(x,t)≥L(x−zt)  ⟹  x−zt⋅Du(x,t)+ut(x,t)−L(x−zt)≥0 \begin{align} &&\left( \dfrac{x-z}{t}, 1 \right) \cdot \left( Du(x, t), u_{t}(x, t) \right) = \dfrac{x-z}{t}\cdot Du(x, t) + u_{t}(x, t) &\ge L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \nonumber \\ \implies && \dfrac{x-z}{t}\cdot Du(x, t) + u_{t}(x, t) - L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) &\ge 0 \label{eq4} \end{align}

    따라서 다음이 성립한다.

    ut(x,t)+H(Du)=ut(x,t)+max⁡v∈Rn{v⋅Du(x,t)−L(v)}≥ut(x,t)+x−zt⋅Du(x,t)−L(x−zt)≥0 \begin{align*} u_{t}(x, t)+H(Du) &= u_{t}(x, t)+\max_{v \in \mathbb{R}^n} \left\{ v \cdot Du(x, t)-L(v) \right\} \\ &\ge u_{t}(x, t)+\dfrac{x-z}{t}\cdot Du(x, t)-L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \\ & \ge 0 \end{align*}

    두번째 줄은 v=x−ztv=\dfrac{x-z}{t}로 택하면 성립하고, 마지막줄은 (eq4)\eqref{eq4}의해 성립한다.

Part 1. 과 Part 2. 에 의해 다음이 성립한다.

u(x,t)=min⁡y∈Rn{(t−s)L(x−yt−s)+u(y,s)} u(x, t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ (t-s) L \left( \dfrac{x-y}{t-s} \right) +u(y, s) \right\}

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  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p127-128 ↩︎