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해밀토니안과 라그랑지안의 컨벡스 듀얼리티

정리¹

르장드르 변환

• $L$이 볼록함수이다.
• $\lim \limits_{ |v|\to \infty} \dfrac{ L(v) }{ |v| }=+\infty$

위 조건을 만족하는 라그랑지안 $L : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$에 대해서 $L$의 르장드르 변환 $L^{\ast} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$를 다음과 같이 정의한다.

$$ L^{\ast} (p) := \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}} \big( p\cdot v -L(v) \big) \quad \forall \ p \in \mathbb{R}^{n} $$

라그랑지안 $L$이 르장드르 변환이 정의될 조건을 만족한다고 하자. 해밀토니안 $H$를 $L$의 르장드르 변환으로 두자. $$ H=L^{\ast} $$

그러면 $H$도 르장드르 변환이 정의되기 위한 두 조건을 만족하고 $L=H^{\ast}$가 성립한다.

• (a) $H$는 볼록함수이다.

  $$ \lambda H(v_{1}) + (1-\lambda) H(v_{2}) \le H\big( \lambda v_{1} +(1-\lambda)v_{2} \big) \quad \forall\ v_{1},v_{2}\in \mathbb{R}^{n},\quad \forall\ 0\le \lambda \le 1 $$

• (b) $\lim \limits_{ |p|\to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| }=+\infty$

• (c) $L=H^{\ast}$

역도 성립한다. 더욱이 $H$와 $L$이 $p$, $v\in \mathbb{R}^{n}$에서 미분 가능하다면 아래의 내용들은 전부 동치이다.

• $p\cdot v=L(v) + H(p)$
• $p=DL(v)$
• $v=DH(p)$

증명

(a)

$p,q \in \mathbb{R}^{n}$이고 $0 \le \tau \le 1$이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} H(\tau p+(1-\tau)q) &= \sup \limits_{v\in \mathbb{R}^{n}} \big( (\tau p + (1-\tau) q) \cdot v -L(v) \big) \\ &= \sup \limits_{v\in \mathbb{R}^{n}} \big( \tau ( p \cdot v -L(v) ) +(1-\tau)(q \cdot v -L(v)) \big) \\ &\le \tau \sup \limits_{v} (p\cdot v - L(v) ) +(1-\tau) \sup \limits_{v} (q\cdot v -L(v)) \\ &= \tau H(p) + (1-\tau)H(q) \end{align*} $$

두번째 등호는 $\tau L(v) -\tau L(v)$를 더하여 정리해주면 성립한다. 세번째 줄은 $L$가 볼록함수이므로 성립한다. 마지막 등호는 르장드르 변환의 정의와 $H=L^{\ast}$라는 가정에 의해 성립한다.

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(b)

고정된 임의의 양수 $\lambda >0$가 있다. 그리고 $p\ne 0 \in \mathbb{R}^{n}$ 이라고 하자. 그러면 가정에 의해 다음이 성립한다.

$$ H(p)= \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}}( p\cdot v - L(v)) $$

이때 $v=\lambda \frac{p}{|p|}$라고 두면 $\sup$의 정의에 의해 위의 식에 임의의 $v$를 대입하면 위의 식보다 작거나 같으므로 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} H(p) &= \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}}( p\cdot v -L(v)) \\ &\ge \lambda |p| -L \left( \lambda \frac{p}{|p|} \right) \\ & \ge \lambda |p| - \max \limits_{B(0,\lambda)} L \end{align*} $$

양변을 $|p|$로 나누면 다음과 같다.

$$ \dfrac{H(p)}{|p|} \ge \lambda - \dfrac{\max L}{ |p| } $$

이는 다음의 식이 성립함을 의미한다.

$$ \liminf \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } \ge \lambda $$

위 식은 임의의 $\lambda$에 대해서 성립하므로 다음을 얻는다.

$$ \liminf \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } = \infty $$

따라서 다음과 같다.

$$ \lim \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } = \infty $$

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(c)

$H=L^{\ast}$이고 $L^{\ast}=\sup (p \cdot v -L(v))$이므로 어떤 $v$에 대해서도 $H$는 항상 크거나 같다.

$$ H(p) \ge p \cdot v -L(v) \quad \forall \ v\in \mathbb{R}^{n} $$

$H$와 $L$을 이항하면 다음을 얻는다.

$$ L(v) \ge p \cdot v -H(p) \quad \forall \ v\in \mathbb{R}^{n} $$

양변에 $p \in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 $\sup$을 취하면 우변은 르장드르 변환의 정의에 의해 $H^{\ast}$와 같다.

$$ L(v) \ge \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v -H(p) \big) =H^{\ast}(v) $$

이제 반대 부등호 $L(v) \le H^{\ast}(v)$가 성립함을 보이면 증명이 끝난다. $H^{\ast}$는 정의에 의해 다음과 같다.

$$ H^{\ast}(v)= \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v-H(p)\big) $$

그런데 $H=L^{\ast}$라 가정했으므로 다음을 얻는다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} H^{\ast}(v) &= \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v-\sup_{r \in \mathbb{R}^{n}}\big( p\cdot r - L(r) \big) \big) \\ &= \sup_{p} \inf_{r} \big( p\cdot(v-r) + L(r)\ \big) \end{aligned} \label{eq1} \end{equation} $$

보조정리

만약 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$가 볼록하면 모든 $x \in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음을 만족하는 $r \in \mathbb{R}^{n}$이 존재한다.

$$ f(y) \ge f(x) + r\cdot(y-x) \quad \forall\ y\in \mathbb{R}^{n} $$

$L$은 볼록하므로 보조정리에 의해 모든 $v \in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음의 조건을 만족하는 $s \in \mathbb{R}^{n}$이 존재한다.

$$ L(r) \ge L(v)+s\cdot(r-v) \quad \forall \ r\in \mathbb{R}^{n} $$

$s\cdot (r-v)$를 이항하고 $p=s$를 대입하면 $\eqref{eq1}$은 다음과 같다.

$$ H^{\ast}(v) \ge \inf_{r} \big( s\cdot (v-r) \big) =L(v) $$

따라서 $H^{\ast}(v) \ge L(v)$이고, $H^{\ast}(v)=L(v)$이다.

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