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연속이지만 미분할 수 없는 함수: 바이어슈트라스 함수 📂해석개론

연속이지만 미분할 수 없는 함수: 바이어슈트라스 함수

정리

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어디에서도 미분할 수 없는 연속함수가 존재한다.

증명

Strategy: 연속함수 g1(x):=∣x−1∣g_{1} (x) := | x - 1 | 과 g2(x):=∣x−2∣g_{2} (x) := | x - 2 | 을 생각해보자. g1g_{1} 은 x=1x=1 에서, g2g_{2} 는 x=2x=2 에서 미분가능하지 않다. (g1+g2)(g_{1} + g_{2}) 는 x=1x = 1 와 x=2x = 2 두 점 모두에서 미분가능하지 않다. 이러한 방식으로 G:=∑k=1∞gk\displaystyle G: = \sum_{k=1}^{\infty} g_{k} 을 구성해보면 GG 는 x∈Nx \in \mathbb{N} 에서 미분가능하지 않을 것이다. 물론 이는 바이어슈트라스 함수라고 하기엔 너무 많은 곳에서 미분가능하다. 진짜 바이어슈트라스 함수 FF 는 연속성을 가지되 미분불가능한 점이 빠르게 늘어나는 fkf_{k} 들의 합으로 만들어진다.

  • Part 1. FF 의 연속성

    f0(x):={x,0≤x<121−x,12≤x<1 f_{0} (x) := \begin{cases} x &, 0 \le x < {{ 1 } \over { 2 }} \\ 1 - x &, {{1} \over {2}} \le x < 1 \end{cases}

    f0(x):=f0(x+1) f_{0} (x) := f_{0} (x + 1)

    위와 같은 주기함수 f0f_{0} 을 정의하고 다음과 같이 fkf_{k}, FF 를 정의하자.

    fk(x):=f0(2kx)2k f_{k} (x) := {{ f_{0} ( 2_{k} x ) } \over { 2^{k} }}

    F(x):=∑k=0∞fk(x) F (x) := \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} (x)

    20190701\_145128.png

    fkf_{k} 는 위 그림과 같이 R\mathbb{R} 에서 연속이다.

    바이어슈트라스 M 판정법: 함수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 과 x∈Ex \in E 에 대해 ∣fn(z)∣≤Mn|f_{n}(z)| \le M_{n} 을 만족하는 양수의 수열 MnM_{n} 이 존재하고 ∑n=1∞Mn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n} 이 수렴하면 ∑n=1∞fn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} 은 EE 에서 절대수렴하고 균등수렴한다.

    함수 시리즈의 성질: EE 에서 F:=∑k=1∞fk\displaystyle F := \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k} 가 균등수렴한다고 하자. fnf_{n} 이 x0∈Ex_{0} \in E 에서 연속이면 FF 도 x0∈Ex_{0} \in E 에서 연속이다.

    Mn:=12n+1 \begin{align*} M_{n} := {{ 1 } \over { 2^{n+1} }} \end{align*}

    이라고 하면

    ∣fn(x)∣≤Mn | f_{n} (x) | \le M_{n}

    ∑n=0∞Mn=1 \sum_{n=0}^{\infty} M_{n} = 1

    이므로 FF 는 균등수렴하고, FF 는 연속이다.

  • Part 2. FF 의 미분불가능성

    FF 는 주기가 11 이므로 [0,1)[ 0 , 1 ) 에서만 미분불가능함을 보이면 R\mathbb{R} 에서 미분가능하지 않다. FF 가 어떤 x0∈[0,1)x_{0} \in [0,1) 에서 미분가능하다고 가정해보자.

    • Part 2-1. ∑k=0∞ck\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} 의 발산성

      αn:=p2n \displaystyle \alpha_{n} := {{p} \over {2^{n} }}

      βn:=p+12n \displaystyle \beta_{n} := {{p+1} \over {2^{n} }}

      이라고 두면 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해서 x0∈[αn,βn)x_{0} \in [ \alpha_{n} , \beta_{n} ) 가 되도록 하는 p∈Zp \in \mathbb{Z} 를 고를 수 있을 것이다. [αn,βn)[ \alpha_{n} , \beta_{n} ) 는 길이가 12n\displaystyle {{1} \over {2^{n}}} 이고, 다음 그림과 같이 x0x_{0} 를 포함하도록 하는 [0,1)[0,1) 의 (p+1)(p+1) 번째 구간이다.

      20190702\_104836.png

      nn 이 11 커질 때마다 [αn,βn)[ \alpha_{n} , \beta_{n} ) 은 절반씩 줄어들며, k<nk < n 이라고 하면

      [αn,βn]⊆[αk+1,βk+1] [ \alpha_{n} , \beta_{n} ] \subseteq [ \alpha_{k+1} , \beta_{k+1} ]

      이다. 한편 [αk+1,βk+1][ \alpha_{k+1} , \beta_{k+1} ] 에서 fkf_{k} 는 증가하거나 감소하기만 하므로, 그보다 더 작거나 같은 구간인 [αn,βn][ \alpha_{n} , \beta_{n} ] 에서도 증가하거나 감소하기만 한다. 따라서 ckc_{k} 를

      ck:=fk(βn)−fk(αn)βn−αn c_{k} := {{ f_{k} ( \beta_{n} ) - f_{k} ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }}

      와 같이 정의하면 ckc_{k} 는 nn 에 무관하게 ck=1c_{k} = 1 이거나 ck=−1c_{k} = -1 일 수밖에 없다. 무한급수의 성질에 따라 ckc_{k} 가 수렴하지 않으면 ∑k=0∞ck\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} 는 발산해야한다. 이는 n∈Nn \in \mathbb{N} 이 어떻게 주어지든 똑같은 방식으로 보일 수 있으므로 nn 에 관계 없이 ∑k=0∞ck\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} 가 수렴하지 않는다고 말할 수 있다.

    • Part 2-2. F′(x0)=∑k=0∞ck\displaystyle F ' (x_{0}) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}

      FF 가 x0x_{0} 에서 미분가능하다고 가정했고 n→∞n \to \infty 일 때 [αn,βn]→[x0,x0][ \alpha_{n} , \beta_{n} ] \to [x_{0} , x_{0}] 이므로

      F′(x0)=lim⁡n→∞F(βn)−F(αn)βn−αn F ' (x_{0}) = \lim_{n \to \infty} {{ F ( \beta_{n} ) - F ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }}

      한편 k≥nk \ge n 에 대해 fk(αn)=fk(βn)=0f_{k} ( \alpha_{n} ) = f_{k} ( \beta_{n} ) = 0 이므로

      F(αn)=∑k=0∞fk(αn)=∑k=0n−1fk(αn) F ( \alpha_{n} ) = \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} ( \alpha_{n} ) = \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \alpha_{n} )

      F(βn)=∑k=0∞fk(βn)=∑k=0n−1fk(βn) F ( \beta_{n} ) = \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} ( \beta_{n} ) = \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \beta_{n} )

      과 같이 FF 를 유한급수로 나타낼 수 있다. 그러면

      ∑k=0∞ck=lim⁡n→∞∑k=0n−1ck=lim⁡n→∞∑k=0n−1fk(βn)−∑k=0n−1fk(αn)βn−αn=lim⁡n→∞F(βn)−F(αn)βn−αn=F′(x0) \begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} =& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} c_{k} \\ =& \lim_{n \to \infty} {{ \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \beta_{n} ) - \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} \\ =& \lim_{n \to \infty} {{ F ( \beta_{n} ) - F ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} \\ =& F ' ( x_{0} ) \end{align*}

Part 2-2에서 F′(x0)=∑k=0∞ck\displaystyle F ' (x_{0}) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} 이었지만 Part 2-1에서 ∑k=0∞ck\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} 는 발산하므로 가정에 모순이다.

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