연속이지만 미분할 수 없는 함수: 바이어슈트라스 함수
정리
증명
Strategy: 연속함수 $g_{1} (x) := | x - 1 |$ 과 $g_{2} (x) := | x - 2 |$ 을 생각해보자. $g_{1}$ 은 $x=1$ 에서, $g_{2}$ 는 $x=2$ 에서 미분가능하지 않다. $(g_{1} + g_{2})$ 는 $x = 1$ 와 $x = 2$ 두 점 모두에서 미분가능하지 않다. 이러한 방식으로 $\displaystyle G: = \sum_{k=1}^{\infty} g_{k}$ 을 구성해보면 $G$ 는 $x \in \mathbb{N}$ 에서 미분가능하지 않을 것이다. 물론 이는 바이어슈트라스 함수라고 하기엔 너무 많은 곳에서 미분가능하다. 진짜 바이어슈트라스 함수 $F$ 는 연속성을 가지되 미분불가능한 점이 빠르게 늘어나는 $f_{k}$ 들의 합으로 만들어진다.
Part 1. $F$ 의 연속성
$$ f_{0} (x) := \begin{cases} x &, 0 \le x < {{ 1 } \over { 2 }} \\ 1 - x &, {{1} \over {2}} \le x < 1 \end{cases} $$
$$ f_{0} (x) := f_{0} (x + 1) $$
위와 같은 주기함수 $f_{0}$ 을 정의하고 다음과 같이 $f_{k}$, $F$ 를 정의하자.
$$ f_{k} (x) := {{ f_{0} ( 2_{k} x ) } \over { 2^{k} }} $$
$$ F (x) := \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} (x) $$
$f_{k}$ 는 위 그림과 같이 $\mathbb{R}$ 에서 연속이다.
바이어슈트라스 M 판정법: 함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 과 $x \in E$ 에 대해 $|f_{n}(z)| \le M_{n}$ 을 만족하는 양수의 수열 $M_{n}$ 이 존재하고 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 이 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 은 $E$ 에서 절대수렴하고 균등수렴한다.
함수 시리즈의 성질: $E$ 에서 $\displaystyle F := \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}$ 가 균등수렴한다고 하자. $f_{n}$ 이 $x_{0} \in E$ 에서 연속이면 $F$ 도 $x_{0} \in E$ 에서 연속이다.
$$ \begin{align*} M_{n} := {{ 1 } \over { 2^{n+1} }} \end{align*} $$
이라고 하면
$$ | f_{n} (x) | \le M_{n} $$
$$ \sum_{n=0}^{\infty} M_{n} = 1 $$
이므로 $F$ 는 균등수렴하고, $F$ 는 연속이다.
Part 2. $F$ 의 미분불가능성
$F$ 는 주기가 $1$ 이므로 $[ 0 , 1 )$ 에서만 미분불가능함을 보이면 $\mathbb{R}$ 에서 미분가능하지 않다. $F$ 가 어떤 $x_{0} \in [0,1)$ 에서 미분가능하다고 가정해보자.
Part 2-1. $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 의 발산성
$$ \displaystyle \alpha_{n} := {{p} \over {2^{n} }} $$
$$ \displaystyle \beta_{n} := {{p+1} \over {2^{n} }} $$
이라고 두면 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해서 $x_{0} \in [ \alpha_{n} , \beta_{n} )$ 가 되도록 하는 $p \in \mathbb{Z}$ 를 고를 수 있을 것이다. $[ \alpha_{n} , \beta_{n} )$ 는 길이가 $\displaystyle {{1} \over {2^{n}}}$ 이고, 다음 그림과 같이 $x_{0}$ 를 포함하도록 하는 $[0,1)$ 의 $(p+1)$ 번째 구간이다.
$n$ 이 $1$ 커질 때마다 $[ \alpha_{n} , \beta_{n} )$ 은 절반씩 줄어들며, $k < n$ 이라고 하면
$$ [ \alpha_{n} , \beta_{n} ] \subseteq [ \alpha_{k+1} , \beta_{k+1} ] $$
이다. 한편 $[ \alpha_{k+1} , \beta_{k+1} ]$ 에서 $f_{k}$ 는 증가하거나 감소하기만 하므로, 그보다 더 작거나 같은 구간인 $[ \alpha_{n} , \beta_{n} ]$ 에서도 증가하거나 감소하기만 한다. 따라서 $c_{k}$ 를
$$ c_{k} := {{ f_{k} ( \beta_{n} ) - f_{k} ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} $$
와 같이 정의하면 $c_{k}$ 는 $n$ 에 무관하게 $c_{k} = 1$ 이거나 $c_{k} = -1$ 일 수밖에 없다. 무한급수의 성질에 따라 $c_{k}$ 가 수렴하지 않으면 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 는 발산해야한다. 이는 $n \in \mathbb{N}$ 이 어떻게 주어지든 똑같은 방식으로 보일 수 있으므로 $n$ 에 관계 없이 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 가 수렴하지 않는다고 말할 수 있다.
Part 2-2. $\displaystyle F ' (x_{0}) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$
$F$ 가 $x_{0}$ 에서 미분가능하다고 가정했고 $n \to \infty$ 일 때 $[ \alpha_{n} , \beta_{n} ] \to [x_{0} , x_{0}]$ 이므로
$$ F ' (x_{0}) = \lim_{n \to \infty} {{ F ( \beta_{n} ) - F ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} $$
한편 $k \ge n$ 에 대해 $f_{k} ( \alpha_{n} ) = f_{k} ( \beta_{n} ) = 0$ 이므로
$$ F ( \alpha_{n} ) = \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} ( \alpha_{n} ) = \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \alpha_{n} ) $$
$$ F ( \beta_{n} ) = \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} ( \beta_{n} ) = \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \beta_{n} ) $$
과 같이 $F$ 를 유한급수로 나타낼 수 있다. 그러면
$$ \begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} =& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} c_{k} \\ =& \lim_{n \to \infty} {{ \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \beta_{n} ) - \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} \\ =& \lim_{n \to \infty} {{ F ( \beta_{n} ) - F ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} \\ =& F ' ( x_{0} ) \end{align*} $$
Part 2-2에서 $\displaystyle F ' (x_{0}) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 이었지만 Part 2-1에서 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 는 발산하므로 가정에 모순이다.
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