라돈 역변환: Filtered Back Projection(FBP)
📂단층촬영 라돈 역변환: Filtered Back Projection(FBP) 정리 f : R 2 → R f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R} f : R 2 → R
f ( x , y ) = 1 2 B { F − 1 [ ∣ S ∣ F ( R f ) ( S , θ ) ] } ( x , y )
f(x,y)=\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F} (\mathcal{R}f) (S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y)
f ( x , y ) = 2 1 B { F − 1 [ ∣ S ∣ F ( R f ) ( S , θ ) ] } ( x , y )
설명 The filtered back projection formular 이라고도 한다.
f f f 라돈변환 R f \mathcal{R}f R f 푸리에 변환 과 백 프로젝션 을 사용하여 f f f ∣ S ∣ |S| ∣ S ∣ 라돈 역 변환 inverse Radon transform 이라는 말이다.
증명 푸리에 역변환 정리 에 의해 다음이 성립한다.
f ( x , y ) = F 2 − 1 F 2 f ( x , y )
f(x,y)={\mathcal{F}_2}^{-1}\mathcal{F}_2 f(x,y)
f ( x , y ) = F 2 − 1 F 2 f ( x , y )
이때 F 2 \mathcal{F}_2 F 2 2차원 푸리에 변환 이다. 푸리에 역변환의 정의에 따라 위 식의 우변은 다음과 같다.
1 4 π 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F 2 f ( X , Y ) e i ( x X + y Y ) d X d Y
\dfrac{1}{4\pi^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}_2f(X,Y)e^{i(xX+yY)}dXdY
4 π 2 1 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F 2 f ( X , Y ) e i ( x X + y Y ) d X d Y
직교 좌표 ( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) ( S , θ ) (S,\theta) ( S , θ ) X = S cos θ X=S\cos\theta X = S cos θ Y = S sin θ Y=S\sin\theta Y = S sin θ
∣ ∂ X ∂ S ∂ X ∂ θ ∂ Y ∂ S ∂ Y ∂ θ ∣ = ∣ S ∣
\begin{vmatrix} \frac{\partial X}{\partial S} & \frac{\partial X}{\partial \theta} \\ \frac{\partial Y}{\partial S} & \frac{\partial Y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =|S|
∂ S ∂ X ∂ S ∂ Y ∂ θ ∂ X ∂ θ ∂ Y = ∣ S ∣
따라서 d X d Y = ∣ S ∣ d S d θ dXdY=|S|dSd\theta d X d Y = ∣ S ∣ d S d θ
1 4 π 2 ∫ 0 π ∫ − ∞ ∞ F 2 f ( S cos θ , S sin θ ) e i S ( x cos θ + y sin θ ) ∣ S ∣ d S d θ
\dfrac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}_2f(S\cos\theta,S\sin\theta)e^{iS(x\cos\theta+y\sin\theta)}|S|dSd\theta
4 π 2 1 ∫ 0 π ∫ − ∞ ∞ F 2 f ( S cos θ , S sin θ ) e i S ( x c o s θ + y s i n θ ) ∣ S ∣ d S d θ
푸리에 슬라이스 정리
F 2 f ( S cos θ , S sin θ ) = F ( R f ) ( S , θ )
\mathcal{F}_2 f(S \cos\theta,\ S \sin\theta)=\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S ,\ \theta)
F 2 f ( S cos θ , S sin θ ) = F ( R f ) ( S , θ )
그러면 푸리에 슬라이스 정리에 의해 위 식은 다음과 같다.
1 2 π 1 2 π ∫ 0 π ∫ − ∞ ∞ F ( R f ) ( S , θ ) e i S ( x cos θ + y sin θ ) ∣ S ∣ d S d θ
\dfrac{1}{2\pi}{\color{blue}\dfrac{1}{2\pi}} \int_{0}^{\pi} {\color{blue}\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S, \ \theta)e^{iS(x\cos\theta+y\sin\theta)}|S|dS}d\theta
2 π 1 2 π 1 ∫ 0 π ∫ − ∞ ∞ F ( R f ) ( S , θ ) e i S ( x c o s θ + y s i n θ ) ∣ S ∣ d S d θ
파란색으로 칠한 부분은 푸리에 역변환의 정의에 의해서 다음과 같다.
1 2 π ∫ 0 π F − 1 [ ∣ S ∣ F ( R f ) ( S , θ ) ] ( x cos θ + y sin θ , θ ) d θ
\dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} {\color{blue} \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S| \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \Big] (x\cos\theta+y\sin\theta,\ \theta) } d\theta
2 π 1 ∫ 0 π F − 1 [ ∣ S ∣ F ( R f ) ( S , θ ) ] ( x c o s θ + y s i n θ , θ ) d θ
백 프로젝션
B f ( x , y ) : = ∫ 0 π f ( x cos θ + y sin θ , θ ) d θ
\mathcal{B}f(x,y) := \int_{0}^\pi f(x\cos\theta+y\sin\theta,\ \theta) d\theta
B f ( x , y ) := ∫ 0 π f ( x cos θ + y sin θ , θ ) d θ
그리고 위 식은 백 프로젝션의 정의에 의해 다음과 같다.
1 2 B { F − 1 [ ∣ S ∣ F ( R f ) ( S , θ ) ] } ( x , y )
\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y)
2 1 B { F − 1 [ ∣ S ∣ F ( R f ) ( S , θ ) ] } ( x , y )
따라서 다음을 얻는다.
f ( x , y ) = 1 2 B { F − 1 [ ∣ S ∣ F ( R f ) ( S , θ ) ] } ( x , y )
f(x,y)= \dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y)
f ( x , y ) = 2 1 B { F − 1 [ ∣ S ∣ F ( R f ) ( S , θ ) ] } ( x , y )
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