백 프로젝션: 라돈 변환의 듀얼
정의1 2
라돈 변환 $\mathcal{R} : L^{2}(\mathbb{R}^{n}) \to L^{2}(Z_{n})$의 듀얼 오퍼레이터 $\mathcal{R}^{\#} : L^{2}(Z_{n}) \to L^{2}(\mathbb{R}^{n})$를 백 프로젝션back projection, 배경투사이라 한다.
$$ \left\langle \mathcal{R}f ,g \right\rangle_{L^{2}(Z_{n})} = \left\langle f , \mathcal{R}^{\#}g \right\rangle_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})} $$
여기서 $Z_{n} := \mathbb{R}^{1} \times S^{n-1}$는 $\mathbb{R}^{n+1}$의 유닛 실린더이다.
정리
수식
백 프로젝션은 구체적으로 다음과 같다.
$$ \mathcal{R}^{\#} g (\mathbf{x}) = \int_{S^{n-1}} g (\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} $$
특히 2차원에서는,
$$ \mathcal{R}^{\#} g (x,y) = \int_{0}^{2\pi} g (x\cos\theta + y\sin\theta, \theta) d\theta $$
라돈변환의 백 프로젝션
다음의 식이 성립한다.
$$ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f = \left| S^{n-2} \right| \dfrac{1}{\left| \mathbf{x} \right|} \ast f $$
여기서 $\ast$는 컨볼루션, $\left| S^{n-1} \right|$는 $n$차원 구의 겉넓이이다. 특히 2차원에서는,
$$ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f = \dfrac{2}{\left| \mathbf{x} \right|} \ast f $$
설명
백 프로젝션은 라돈 변환의 듀얼이므로 라돈 역변환의 후보로 생각할 수 있다. 하지만 라돈 변환은 유니터리가 아니므로 다음이 성립하지 않는다.
$$ \mathcal{R}^{-1} \ne \mathcal{R}^{\#} $$
두번째 정리를 보면 $\mathcal{R}^{\#}\mathcal{R}f$가 $f$와 비슷하기는 하지만 같지는 않다는 것을 알 수 있다. 실제로 계산해보면 원본을 블러blur처리한 것처럼 보인다.
따라서 $f$를 정확히 얻기 위해서는 필터 역할을 하는 다른 오퍼레이터를 거쳐야하고, 이러한 라돈 역변환을 filtered back projection이라 한다.
기하적 의미와 시각화
이해를 위해 2차원을 고려하자. 라돈 변환의 백프로젝션은 다음과 같다.
$$ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) =\ \int_{0}^{2\pi} \mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta) d \theta ,\quad \boldsymbol{\theta} = (\cos \theta, \sin \theta) $$
여기서 $\mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta)$는, $f$를 원점에서부터 $\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}$만큼 떨어져있고 $\boldsymbol{\theta}$와 수직인 직선 $l_{\mathbf{x}\cdot \boldsymbol{\theta}, \theta}$로 선적분 한 것이다. 이 직선은 $\theta$와 수직인 각도로 점 $\mathbf{x}$를 지나는 직선이다.
그런데 백 프로젝션은 값 $\mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta)$을 모든 $\theta \in [0,2\pi)$에 대해서 더한 것(적분)이므로, $\mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x})$는 점 $\mathbf{x}$를 지나는 모든 선에 대한 $f$의 선적분의 평균($2\pi$로 나누면)이 된다.
다음의 그림은 $\mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x})$를 계산할 때, $\mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta)$의 값을 $\theta = 0$부터 누적하여 더하는 과정을 보여준다.
증명
수식
$$ \begin{align*} \left\langle \mathcal{R}f ,g \right\rangle_{L^{2}(Z_{n})} =&\ \int_{\mathbb{R}}\int_{S^{n-1}} \mathcal{R}f(s, \boldsymbol{\theta}) g(s, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} ds \\ =&\ \int_{\mathbb{R}}\int_{S^{n-1}} \int_{\mathbb{R}}f(s\boldsymbol{\theta} + t\boldsymbol{\theta}^{\perp})dt g(s, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} ds \\ =&\ \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \int_{S^{n-1}} f(s\boldsymbol{\theta} + t\boldsymbol{\theta}^{\perp}) g(s, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} ds dt \end{align*} $$
$s \boldsymbol{\theta} + t \boldsymbol{\theta}^{\perp} = \mathbf{x}$로 치환하면, $s = \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}$이고, 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \left\langle \mathcal{R}f ,g \right\rangle_{L^{2}(Z_{n})} =&\ \int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{S^{n-1}} f(\mathbf{x}) g(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} d \mathbf{x} \\ =&\ \int_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{x}) \left( \int_{S^{n-1}} g(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} \right) d \mathbf{x} \\ =&\ \left\langle f, \left( \int_{S^{n-1}} g(\left\langle \cdot, \boldsymbol{\theta} \right\rangle, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} \right) \right\rangle_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})} \end{align*} $$
따라서,
$$ \mathcal{R}^{\#} g (\mathbf{x}) = \int_{S^{n-1}} g (\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} $$
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라돈변환의 백 프로젝션3
$$ \begin{align*} \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) =&\ \int\limits_{S^{n-1}} \mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d \boldsymbol{\theta} \\ =&\ \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0} f\big((\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta})\boldsymbol{\theta} + \mathbf{y} \big) d \mathbf{y} d \boldsymbol{\theta} \\ \end{align*} $$
이때 $(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta})\boldsymbol{\theta} = \mathbf{x} - (\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}^{\perp})\boldsymbol{\theta}^{\perp}$이고, 두번째 항은 $\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0$인 $\mathbf{y}$에 포함되므로, 위 적분은 다음과 같다.
$$ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) =\ \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0} f(\mathbf{x} + \mathbf{y} ) d \mathbf{y} d \boldsymbol{\theta} $$
보조정리
$$ \int \limits_{S^{n-1}} \int \limits_{\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0} f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) d \mathbf{y} d \boldsymbol{\theta} = \left| S^{n-2} \right| \int \limits_{\mathbb{R}^{n}} \dfrac{f(\mathbf{y})}{\left| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right|}d \mathbf{y} $$
그러면 보조정리에 의해,
$$ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) = \left| S^{n-2} \right| \int \limits_{\mathbb{R}^{n}} \dfrac{f(\mathbf{y})}{\left| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right|}d \mathbf{y} = \left| S^{n-2} \right| \dfrac{1}{\left| \mathbf{x} \right|} \ast f $$
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