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함수의 급수 📂해석개론

함수의 급수

정의

함수열 {fn:E→R}n=1∞\left\{ f_{n} : E \to \mathbb{R} \right\}_{n=1}^{\infty} 을 정의하자.

(1) ∑k=1nfk(X)\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f_{k} (X) 이 n→∞n \to \infty 일 때 EE 에서 점별수렴하면 급수 ∑k=1∞fk\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k} 가 EE 에서 점별수렴한다고 한다.

(2) ∑k=1nfk(X)\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f_{k} (X) 이 n→∞n \to \infty 일 때 EE 에서 균등수렴하면 급수 ∑k=1∞fk\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k} 가 EE 에서 균등수렴한다고 한다.

(3) ∑k=1n∣fk(x)∣\displaystyle \sum_{k=1}^{n} | f_{k} (x) | 이 n→∞n \to \infty 일 때 EE 에서 점별수렴하면 급수 ∑k=1∞fk\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k} 가 EE 에서 절대수렴한다고 한다.

설명

함수의 수열을 이야기했다면 급수를 이야기하지 않을 수 없다. 그냥 함수열의 수렴과 달리 절대수렴까지 생각한다는 점이 차이다.

정리

EE 에서 F:=∑k=1∞fk\displaystyle F := \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k} 가 균등수렴한다고 하자.

(1) 연속성: fnf_{n} 이 x0∈Ex_{0} \in E 에서 연속이면 FF 도 x0∈Ex_{0} \in E 에서 연속이다.

(2) 미분가능성: fnf_{n} 이 E=(a,b)E = (a,b) 에서 미분가능하고 ∑k=1∞fn′\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{n} ' 가 EE 에서 균등수렴하면 F\displaystyle F 도 EE 에서 미분가능하고

ddx∑k=1∞fn(x)=∑k=1∞ddxfn(x) {{ d } \over { dx }} \sum_{k=1}^{\infty} f_{n} (x) = \sum_{k=1}^{\infty} {{ d } \over { dx }} f_{n} (x)

(3) 적분가능성: fnf_{n} 이 E=[a,b]E = [a,b] 에서 적분가능하면 FF 도 EE 에서 적분가능하고

lim⁡n→∞∫abfn(x)dx=∫ab(lim⁡n→∞fn(x))dx \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx = \int_{a}^{b} \left( \lim_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) dx

(4) 바이어슈트라스 M 판정법:

함수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 과 x∈Ex \in E 에 대해 ∣fn(z)∣≤Mn|f_{n}(z)| \le M_{n} 을 만족하는 양수의 수열 MnM_{n} 이 존재하고 ∑n=1∞Mn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n} 이 수렴하면 ∑n=1∞fn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} 은 EE 에서 절대수렴하고 균등수렴한다.

(5) 디리클레 판정법:

함수열 {fk}\left\{ f_{k} \right\}, {gk}\left\{ g_{k} \right\} 과 n∈Nn \in \mathbb{N}, x∈Ex \in E 에 대해 ∣∑k=1nfk(x)∣≤M<∞\displaystyle \left| \sum_{k=1}^{n} f_{k} (x) \right| \le M < \infty 만족하는 양수 MM 이 존재하고 gkg_{k} 가 EE 에서 g=0g = 0 으로 균등수렴하면 ∑k=1∞fkgk\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} g_{k} 도 EE 에서 균등수렴한다.