📂해석개론

함수의 급수

정의

함수열 $\left\{ f_{n} : E \to \mathbb{R} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 을 정의하자.

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f_{k} (X)$ 이 $n \to \infty$ 일 때 $E$ 에서 점별수렴하면 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}$ 가 $E$ 에서 점별수렴한다고 한다.

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f_{k} (X)$ 이 $n \to \infty$ 일 때 $E$ 에서 균등수렴하면 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}$ 가 $E$ 에서 균등수렴한다고 한다.

(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} | f_{k} (x) |$ 이 $n \to \infty$ 일 때 $E$ 에서 점별수렴하면 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}$ 가 $E$ 에서 절대수렴한다고 한다.

설명

함수의 수열을 이야기했다면 급수를 이야기하지 않을 수 없다. 그냥 함수열의 수렴과 달리 절대수렴까지 생각한다는 점이 차이다.

정리

$E$ 에서 $\displaystyle F := \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}$ 가 균등수렴한다고 하자.

(1) 연속성: $f_{n}$ 이 $x_{0} \in E$ 에서 연속이면 $F$ 도 $x_{0} \in E$ 에서 연속이다.

(2) 미분가능성: $f_{n}$ 이 $E = (a,b)$ 에서 미분가능하고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{n} ' $ 가 $E$ 에서 균등수렴하면 $\displaystyle F $ 도 $E$ 에서 미분가능하고

$$ {{ d } \over { dx }} \sum_{k=1}^{\infty} f_{n} (x) = \sum_{k=1}^{\infty} {{ d } \over { dx }} f_{n} (x) $$

(3) 적분가능성: $f_{n}$ 이 $E = [a,b]$ 에서 적분가능하면 $F$ 도 $E$ 에서 적분가능하고

$$ \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx = \int_{a}^{b} \left( \lim_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) dx $$

(4) 바이어슈트라스 M 판정법:

함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 과 $x \in E$ 에 대해 $|f_{n}(z)| \le M_{n}$ 을 만족하는 양수의 수열 $M_{n}$ 이 존재하고 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 이 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 은 $E$ 에서 절대수렴하고 균등수렴한다.

(5) 디리클레 판정법:

함수열 $\left\{ f_{k} \right\}$, $\left\{ g_{k} \right\}$ 과 $n \in \mathbb{N}$, $x \in E$ 에 대해 $\displaystyle \left| \sum_{k=1}^{n} f_{k} (x) \right| \le M < \infty$ 만족하는 양수 $M$ 이 존재하고 $g_{k}$ 가 $E$ 에서 $g = 0$ 으로 균등수렴하면 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} g_{k}$ 도 $E$ 에서 균등수렴한다.